日志
数学大发现（三）
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“虚幻之数”
要让人类接受到一种新数，开始往往是非常困难的，甚至还曾经有人为此丢了性命。第一个发现无理数的人古希腊人希帕索斯就被毕达哥拉斯的忠实信徒们抛进大海喂了鲨鱼。负数虽然没有弄出人命，但是也在好几个世纪中把欧洲的数学家们搞得六神无主晕头转向。大名鼎鼎的英国数学家、牛津大学教授瓦里斯曾经因为负数闹了一个大笑话，他说：“负数比无穷大还要大”，连后来的大数学家欧拉，也对此深信不疑！直至19世纪时，有些数学家如德·摩根、马塞勒还说负数“十分荒唐”，主张把它“从代数里驱逐出去！”
正当欧洲数学家们被无理数和负数弄得晕头转向还没有完全清醒过来的时候，新的问题又来了，他们遇到了一种更为奇怪的数，就是负数开平方。
比如解方程x2 + 1= 0，移项得x2 = -1最后解出x儿当然指的是实数）的平方能够等于- 1呢？最初遇到这种数的人，是法国的舒开。然而第一个认真讨论这种数的，却是文艺复兴时期意大利有名的“怪杰”、三次方程解法获得者之一的卡丹。
卡丹在1545年提出一个问题：“把10分成两部分，使它们的面积是40。”
2
他列出方程x（10-x）=40整理后得x-10x+40=0，结果解出这两个根是5嘲地说：“尽管我的良心会受到多大的责备，但是，的的确确5 5差不多过了100年，1637年，解析几何的创始人笛卡儿才给这种“虚幻之数”取了一个名字叫“虚数”（和“实数”相对）。又过了140年，大数学家欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并且用i（imaginary虚幻）来表示它的单位牛津大学教授瓦里斯具有丰富的想象力，给虚数找到了一个更巧妙的“解释”“假设某人欠别人10亩地，即他有-10亩，而这-10亩地又恰好是个正方形，那么它的边长不就是最有名的是莱布尼兹评论虚数时一段颇带神秘色彩的话：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖怪物，那个我们称之为虚的-1的平方根。”看，虚数竟成了上不着天、下不着地的“两栖怪物”！
虚数从开始出现以后，经过了两个世纪，还是得不到人们的正式承认。
大家都知道，把一个实数和一个纯虚数相加，得到形式如a+bi的这种数，叫做复数。复数这个名词是德国数学家高斯先提出的。高斯虽然感到这种数有点虚无缥缈，但又觉得它很有可爱之处。你看，如果不承认这种数，代数方程便有的无解，有的一个解，有的两个解……五花八门，毫无规律可言；如果承认了它，代数方程就都有解，而且n次方程不多不少恰好有n个解！此外，对复数进行代数运算，其结果还是复数（实数和纯虚数只是复数的特例），这样便形成了一个完整的数域。
复数既然有这么多的“优越性”，为什么数学家对它总是疑虑层层、迟迟不接受呢？直至19世纪中期，剑桥大学的教授们仍然抱着“厌恶”的心情，对它进行抵制。简单点说，就是因为这种数“看不见”，同时也“用不上”，缺乏实践的基矗为此立功的是挪威测量学家末塞尔，他找到了复数的几何表示法。众所周知，所有实数都可以用直线上的点来表示，正数用0右边的点来表示，负数用0左边的点表示；无理数如 2，可以用单位边长的正方形的对角线长度来表示。因为“看得见”，大家才不得不承认了负数和无理数。末塞尔发现，所有复数a+bi都可以用平面上的点来表示，而且复数a+bi与平面上的点一一对应。这样一来，复数就找到了一个“立足之地”，而且开始在地图测绘学上找到了它应用的价值。
同时，数学家又找到了复数的三角表示法r（cosθ+sinθ），其中r叫 Q做复数的模，θ叫做幅角。后来又找到了复数的指数表示法re（e表示自然 Q对数的底）。即复数z=a+bi=r（cosθ+isinθ）=re。若令r=1，θ=π，就 in iπ可以得到e=1，即e -1=0，这个著名的式子是欧拉得到的，它把数学中五个最重要的数1，0，i，π，e溶为一体，被誉为整个数学中最卓越的公式之一。
复数在几何上找到了它的位置以后，人们对它就另眼相看了。从18世纪末起，以欧拉为首的一些数学家，开始发展一门新的数学分支，叫做复变函数论。大家都学过函数，但在中学里，函数自变量的取值范围仅限于实数。
如果把函数自变量 z的取值范围扩大到复数，那么这种函数就叫做复变函数。即复变函数W=f（z），其中z，W都是复数。
一个复数如果可以表示为平面上的一个点，那么自变量z的取值范围就是平面上的一个点的集合，相应的函数W的取值范围却是另一个平面上的一个点的集合。从几何角度来看，所谓复变函数，就是把甲平面上的一个图形A（点的集合）变换成乙平面上的一个图形B（也是点的集合）。研究复变函数性质的这一门科学，就是复变函数论。19世纪以后，由于法国数学家柯西、德国数学家黎曼、魏尔斯特拉斯的巨大贡献，复变函数论取得了飞跃的发展，并且广泛的运用到了空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理学等方面。把这种“虚幻之数”第一次应用到工程部门取得重大成就的，是俄罗斯的“航空之父”儒可夫斯基。
尼古拉·叶哥洛维奇·儒可夫斯基1847年1月17日生于俄国弗拉基米尔省，21岁毕业于莫斯科大学的应用数学专业。他具备多方面的才能，特别在航空专业方面很有造诣，后来就专门从事飞行的研究。
1890年，儒可夫斯基在俄国自然科学家会议上作了《关于飞行的理论》的演说。第二年便写出了有名的关于飞行的著作《论鸟之飞翔》。他在长期的观察和研究过程中，发现了鸟类飞行的许多奥秘，即作出了一个大胆的预言：飞机可以在空中“翻筋斗”，当时不少人对他的预言都持怀疑态度，根本没有哪一个飞行员敢于冒险去尝试。十多年以后，陆军中尉聂斯切洛夫做了世界上第一次飞机空中“翻筋斗”的飞行动作，以后这种特技飞行就称为“聂斯切洛夫筋斗”。儒可夫斯基的预言被证实了，他的预言就是根据复变函数的理论计算出来的。
在儒可夫斯基生长的时代，飞机刚刚飞上了天。飞机为什么能飞上天，它应该怎样设计，怎样改进，这一切一切找不到可靠的理论根据，全凭实验来摸索，特别是无法运用数学这个有力工具。由于盲目的实践，所以成功的机会很少，失败的时候居多。一般的科学家都认为，飞行这门学问只能以实验为基矗莫斯科航空学校校长勃劳茨就曾经说过：“要想依靠数学来建立航空学的某些定律，是很危险的事情。”
儒可夫斯基却不相信这一套。他研究了围绕和流过障碍物的不断运动着的气流分子，于1906年（就是莱特兄弟的飞机飞上天空后的第三年）发表了论文《论连接涡流》，成功地解决了空气动力学的主要问题，创立了以空气动力学为基础的机翼升降原理，并找到了计算飞机翼型的方法。这一切的成就，都是依赖于那个前人感到不可捉摸的“虚幻之数”，以及由它延伸出来的复变函数论。
儒可夫斯基翼型，依赖于有名的儒可夫斯基变换，这是一个公式线性的复变函数 1 a2 W 2 z其中z为自变量，W为函数a是一个常数。前面说过，当自变量z的取值范围是平面上一个点集时，函数W的取值范围是另一平面上的一个点集。
复变函数z平面上一个图形A变换成W平面上的一个图B（这种变换又称为“转绘”）。上述儒可夫斯基变换，能把z平面上以P（P不在坐标轴上）为圆心的圆，变成W平面上飞机翼型的截面图。这个翼型就是有名的儒可夫斯基翼型。
实际上，儒可夫斯基从理论上提出的这个翼型，要想完全照样制作是比较困难的。实际使用的翼型是根据实验而描出的经验曲线制作的。但是，由于这种理论上的翼型能够用解析式完美地表达出来，对具有这种假想翼型的飞机性能就可以作充分的计算或估计，然后把计算的结果和实际的翼型作比较，就可以为设计出各种优良翼型提供资料。总之，有了理论的翼型，就可以指导我们的实践，在制作翼型的过程中避免盲目性。所以儒可夫斯基翼型在航空工程学上有着重要的意义，从而为从事这项工作的人们所熟悉。1916年儒可夫斯基的重要著作《航空理论基捶被译成法文，成为航空工程师和飞机设计家的必备手册。
然而，另外有一个中学老师声称也会解三次方程，他便是塔塔利亚。
塔塔利亚是16世纪意大利著名的靠自学成才的数学家，为三次方程求解做出了杰出的贡献。
塔塔利亚原名方塔那，出生于意大利北部的布里西亚，父亲在邮局任职。
他幼年时，正值意大利与法国交战。有一次父母带他逃到天主教堂避难。法军闯进教堂，杀死他的父亲，方塔那的头部也受了重伤。是母亲在尸骸堆中找到他，由于伤势过重，加上神经受到刺激，伤愈后说话不灵，吐字不清，于是得了个绰号叫“塔塔利亚”（意大利语，结巴之意）。后来他就以此绰号为笔名发表文章。
塔塔利亚由于幼年丧父，家境贫寒。因而经济拮据，没钱买文具纸张，母亲就把丈夫坟墓上的青石碑当做石板，教孩子在上面写写画画，认字学算术。小塔塔利亚天资智慧，勤奋刻苦，在数学上很有造诣，成年后就在意大利各地教授数学并以此来维持生活。他曾将欧几里得的《几何原本》译成意大利文，还发表了不少军事科学著作和数学论著，特别是成功地把数学理论应用于动力学中，对后来成为世界著名的物理学家的伽利略有着重要的影响。
1530年，布里西亚一位中学数学教师科拉向塔塔利亚提出了两个挑战性的问题：第一，试求一个数，其立方加上它的平方之二倍等于5（即求满足方程 3x+3x2=5的x值）。
第二，试求三个数，其中第二个数比第一个数大2，第三个数又比第二个数大 2，三数之积等于 1000[即求解方程 x（x+2）（x+4）=1000， 3 2x+6x+8x=1000]。
当时，类似这样的三次方程都在数学界的禁区之内，没有人敢去问津。
塔塔利亚出于好奇心，跃跃欲试，经过一番推演，居然得出了答案，即： 1 x 2 3 64 64 x 27 27塔塔利业求出了这两道题的实根后，并没有公布自己的解法。但从此以后，塔塔利亚在数学领域便开始崭露头角。
费罗的学生菲俄听说塔塔利亚解出了科拉的三次方程，心中很不服。他和塔塔利亚约定，于1535年2月22日在米兰市大教堂进行一场公开的数学竞赛。当塔塔利亚得知菲俄是费罗教授登堂入室的弟子时，心想，竞赛时菲俄难免会拿三次方程来为难自己，切不可掉以轻心。于是，他苦心钻研三次方程的解法，昼夜不停的运算，却毫无进展。比赛日期渐渐迫近，塔塔利亚心急如焚、惶恐不安。2月11日，他伏案通宵，钻研到第二天早上。当他走出户外呼吸一口新鲜空气的时候，多日冥思苦想得不到解答的问题，竟豁然开朗，终于找到了进一步解决三次方程的办法。塔塔利亚回忆说：“我运用了自己的一切努力、勤勉和技巧，以便取得解这些方程的法测。结果很好，我在规定的期限前十天，即2月12日，就做到了这点。”
2月22日，米兰的大教堂热闹非凡，大家都等着看竞赛。比赛开始了， 3双方各出了30个三次方程的题目，其中包括x+mx=n类型的方程。这些难题，使前来观阵的人们无不摇头咂舌，迷惑不解。可是，不到两个小时，塔塔利亚便出人意料地宣布，30个题已全部解答出来了。众人瞠目结舌，心中却是赞叹不已。然而菲俄却一筹莫展，一道题也未解出。最后塔塔利亚以30∶0大获全胜。
消息一经传出，极大地震惊了数学界。塔塔利亚在获胜之后，再接再励，继续钻研。终于在1541年得到了三次方程的公式解，打开了僵持了700多年的局面。
一般一元三次方程的形式如
b
y3 + by2 + cy + d = 0，设y 3
b2 2b3 bc
x3 3 27 3
b 2 2b3 bc
令p 2 27 3
3 2
得新方程：x+px+q=0（1）
在此，只须研究这样类型的三次方程就行了。
卡尔丹的办法，是引入两个新变量t与u。
令 tu
3
2 2 2 p 3
（2） + 4（3）则为：(t 3
化简得：(t 3
2 p 3
即t 3
（2）与（4）联立，可得：
u
这里t、u只取正根。
卡尔丹用几何方法证明：x即为方程（1）的一个解。我们可以用牛顿二项式定理验证（6）式成立： x3 3 q 3 3即证明x+px+q=0将（5）、（6）式结合起来可得到： q q 2 p 3 q q 2 p 3 x 2 2 3 2 2 3这就是塔塔利亚——卡尔丹公式。它又可以化简为： 3 q 3 q x 2 2这里D 2 3 D＞0时，有一实根二虚根。D＜0时，有三个实根。D=0时，若P=q=0，有三重零根；若(q)2 2 3三次方程（1）应当有三个根，但卡尔丹只求出实根，是不完全的。直到 21732年欧拉才得到求出全部根的方法。如果ω、ω表示1的两个立方虚根， 2即方程x+x+1=0的两个根，则t和u的立方根写全了分别应为： 3 3 2 3 2 3 3 2 t , tw , tw和 uw , uw这样，方程（1）的全部根应为： q q x 1 2 2 x 2 2 2 X 3 2 2 b最后，由前设y 3中国剩余定理在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百令五便得知。”
这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。
“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组 N=3x+2，N=5y+3，N=7x+2的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组： N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）《孙子算经》所给答案是N=23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是： N=70×2+21×3+15×2-2×105。
这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对与一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R、R、R 1 2 3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于给出公式 N=70×R+21×R+15×R-P×105（P是整数） 1 2 3孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七下媳、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性： 3×5×7 70 3 3×5×7 21 5 3×5×7 15 7也就是说，这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k=2，k=1，k=1，那么整 1 2 3数k（i=1，2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时 i候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数R、R、R的情况下 1 2 3 M 3×5×7 R×k× 1 1 3 1 3 1 M 3×5×7 R2×k 2× 5 5 M 3×5×7 R×k× 3 3 7 3 7 3综合以上三式又可得到 3×5×7 3×5×7 3×5×7 R×2× 1 3 2 5 3 7≡R(mod3) 1≡R(mod5) 2≡R(mod7) 3因为M=3×5×7可被它的任一因子整除，于是又有： 3×5×7 3×5×7 3×5×7 (R 1×2× 3 5 7≡R（mod3） 1≡R（mod5） 2≡R（mod7） 3这里的P是整数。这就证明了《孙子算经》的公式。应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a、a……a相除得余数R、R、……R，即 1 2 n 1 2 n N≡R（mod ai）（i=1、2、……n） i只需求出一组数K，使满足 i M ki≡1(mod aai )(i a i那么适合已给一次同余组的最小正数解是 M M M M N 1 1 2 2 3 3 n n a a a a 1 2 3 n这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所说，它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。
孙子问题出现在公元四世纪的中国算书中，这并不是偶然的。我国古代天文历法资料表明，一次同余问题的研究，明显地受到天文、历法需要的推动，特别是和古代历法中所谓“上元积年”的计算密切相关。大家知道，一部历法，需要规定一个起算时间，我国古代历算家把这个起点叫做“历元”或“上元”，并且把从历元到编历年所累积的时间叫做“上元积年”。上元积年的推算需要求解一组一次同余式。以公元三世纪三国时期魏国施行的《景初历》做例，这部历法规定以冬至、朔旦（朔日子夜）和甲子日零时会合的时刻作为历元。设a是一回归年日数，b是一朔望月日数，当年冬至距甲子日零时是R，离平朔时刻是R日，那么《影初历》上元积元数N就是同余组 1 2 aN≡R（mod 60）≡R（mod b） i 2的解。到了南北朝时期，祖冲之《大明历》（公元462年）更要求历元必须同时是甲子年的开始，天“日月合璧”、“五星联珠”（就是日、月、五大行星处在同一方位），月亮又恰好行经它的近地点和升交点。这样的条件下推算上元积年，就相当于要求解十个同余式了。天文历法数据一般又都十分庞杂，所以，在《孙子算经》成书前后的魏晋南北朝时期，我国的天文历算家无疑已经能够求解形式比《孙子算经》“物不知数”题复杂得多的一次同余式，因而必定掌握了按一定程序计算一次同余式的方法。《孙子算经》比例题的形式总结、反映了这一事实。以后天文历算家长期沿用孙子算法推算上元积年，这中间肯定会引起更加深入的探讨。到公元13世纪，大数学家秦九韶集前法之大成，终于在一次同余式的研究上获得了超越前人的辉煌成果。
秦九韶，字道古，生活于南宋时期，自幼喜好数学，经过长期积累和苦心钻研，于公元1247年写成《数书九章》。这部中世纪的数学杰作，在许多方面都有创造，其中求解一次同余组的“大衍求一术”和求高次方程数值解的“正负开方术”，更是具有世界意义的成就。
这里主要介绍秦九韶对一次同余论的伟大贡献。
秦九韶在《数书九章》中明确地系统地叙述了求解一次同余组的一般计算步骤。秦的方法，正是前述的剩余定理。我们知道，剩余定理把一般的一 M次同余问题归结为满足条件K（mod a）的一组数k的选定。秦九韶给 i i i a i这些数起名叫“乘率”，并且在《数书九章》卷一“大衍总术”中详载了计算乘率的方法——大衍求一术”。
在秦九韶那个时代，计算仍然使用算筹。秦九韶在一个小方盘上，右上布置奇数g，右下布置定数a，左上置1（他叫它做“天元1”），然后在右行上下交互以少降多，所得商数和左上（或上），直到右上方出现1为止。
下页就是秦九韶的一般筹算图式，右边是一个数字例子（g=20，a=27，k=c=23）。
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秦九韶在《数书九章》中采集了大量例题，如“古历会积”、“积尺寻源”、“推计土功”、“程行计地”等等，广泛应用大衍求一术来解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题。在这些实际问题中，模数a并不总是两两互 i素的整数。秦九韶区分了“元数”（a是整数）、“收数”（a是小数）、 i i“通数”（a是分数）等不同情形，并且对每种情形给出了处理方法。“大 i衍总术”把“收数”和“通数”化成“元数”的情形来计算，而对于元数不两两互素的情形，给出了可靠的程序，适当选取那些元数的因子作定数而把问题归结为两两互素的情形。所有这些系统的理论，周密的考虑，即使以今天的眼光看来也很不简单，充分显示出秦九韶高超的数学水平和计算技巧。
秦九韶小时曾跟随他父亲到南宋京城杭州，向太史局（主管天文历法的机构）的官员学习天文历法，“大衍求一术”很可能就是他总结天文历法计算上元积年方法的结果。但是“大衍求一术”似乎没有为他同时代的人所充分理解。明中叶以后几乎失传。一直到清代“大衍求一术”又重新被发掘出来，引起了许多学者（张敦仁、李锐、骆腾风、黄宗宪等）的兴趣。他们对“大衍求一术”进行了解释、改进和简化，其中黄宗宪《求一术通解》对模数非两两互素的情形给出了更加简明的方法，但是时代已是晚清。
从《孙子算经》“物不知数”题到秦九韶的“大衍求一术”，我国古代数学家对一次同余式的研究，不仅在中国数学史上而且在世界数学史上占有光荣的地位。在欧洲，最早接触一次同余式的，是和秦九韶同时代的意大利数学家斐波那契（1170～1250），他在《算法之书》中给出了两个一次同余问题，但是没有一般的算法。整个水平没有超过《孙子算经》。直到十八、十九世纪，大数学家欧拉（1707～1783）于公元1801年对一般一次同余式进行了详细研究，才重新获得和秦九韶‘大衍求一术”相同的定理，并且对模数两两互素的情形，给出了严格证明。欧拉和高斯事先并不知道中国人的工作。公元1852年英国传教士伟烈亚力（1815～1887）发表《中国科学摘记》，介绍了《孙子算经》物不知数题和秦九韶的解法，引起了欧洲学者的重视。
1876年，德国马蒂生（1830～1906）首先指出孙子问题的解法和高斯方法一致，当时德国著名数学史家康托（1829～1920）看到马蒂生的文章以后，度评价了“大衍术”，并且称赞发现这一方法的中国数学家是“最幸运的天才”。
直到今天，“大衍求一术”仍然引起西方数学史家浓厚的研究兴趣。如1973年，美国出版的一部数学史专著《十三世纪的中国数学》中，系统介绍了中国学者在一次同余论方面的成就，作者力勃雷希（比利时人）在评论素九韶的贡献的时候说道：“秦九韶在不定分析方面的著作时代颇早，考虑到这一点，我们就会看到，萨顿称秦九韶为‘他那个民族’，是毫不夸张的。”
印度学者对一次同余论也有过重要贡献。从公元6世纪到12世纪，他们发展了一种称为“库塔卡”的算法，用来求解和一次同余式等价的不定方程组。“库塔卡”法出现在孙子算法之后，印度数学家婆罗门芨多（七世纪）、摩柯吠罗（九世纪）等人的著作中，都有和物不知数题相同的一次同余问题。
这当然不是要借此断言“库塔卡”法一定受到了孙子算法的影响，但是有人（如万海依等）硬说中国的“大衍求一”来源于“库塔卡”，就是毫无根据的妄说了。万海依居然把中国算法中数码从左到右横写作为“大衍术”受印度影响的重要根据。大家知道，中国古代至迟从春秋战国时期就开始使用算筹记数，我们今天还可以从现存的公元前三世纪的货币上看到这种从左到右的记数方法。由此可见，万海依的论点多么荒唐可笑。中国古代数学家对一次同余论的研究有明显的独创性和继承性，“大衍求一术”在世界数学史上的崇高地位是毋容置疑的，正因为这样，在西方数学史著作中，一直公正地称求解一次同余组的剩余定理为“中国剩余定理”。
影子的数学应用
自古以来，人们仰望遥远的天空时，就会情不自禁地想道：“天到底有多高呢？”
由于天高不可测，人们便想知道，挂在天空的太阳离地到底有多远。孔子不能回答“小儿辩日”的问题，然而，初生的牛犊不怕虎，有一个儿童却敢于当着大人的面巧辩太阳离地有多远。
约在公元300年，晋元帝司马睿问他才七八岁的儿子司马绍道：“长安离我们这儿远，还是太阳离我们这儿远？”司马绍回答：“太阳。因为：有闻客自长安来，却未闻有人从日边来。”元帝很高兴，第二天在宴会上说起这件事，当时别人又问司马绍一遍相同的问题，可是他却回答“长安远”。
这下让元帝大为扫兴，正要提示，只见司马绍不慌不忙地补充说：“举目见日，不见长安。”这两句话引得元帝满心欢喜，登时四座惊服。司马绍才思敏捷，后来的人把远方亲友不能见面的思念用“长安远”为辞。成为千古名喻。
那么，到底是长安远还是太阳远，科学家们却是用具体的数学来说话。
长安在大地上，自然有办法丈量，而那个太阳高悬在空中，要测量它离我们这儿有多远就很难了。然而，人类的智慧到底还是征服了大自然。
这就是利用“影子”。
一首题为《影子》的诗写道：“岂能依此长短，判定人的高矮！”这首诗只有寥寥12个字，却揭示了一条深刻的哲理，它寓含于科学与人生之中，就影子本身来说，它貌不惊人，从来都是某种物体的附属品，又是虚无阴暗的代表，习惯被人瞧不起，认为是毫无价值的、空洞的，甚至把它的存在也看成是多余的。然而，我们岂可以依此长短来判断人的高矮呢？诚然，大自然的奇观五光十色，令人眼光缭乱，有多少惊奇奥妙的情与景令人神往啊！
对于张目可见的影子实在不屑一提。可是，真正的科学家却不认为影子毫无用处，因为他们早就理解了其中的哲理，明白了衡量一件事物的价值是不能光凭外感来做标准的。
不是吗？因为有了影子，人类才揭示了日食的秘密，同时，光学之中出现了成像原理，微积分学中有了变化率，测量学中有了测高望远之术，定时装置中有了日晷……早在公元前6世纪，古希腊学者塔利斯就曾经借用影子的作用去拯救战火中受难的百姓，据说当时美地亚和吕地亚国（位于现今土耳其西部）发生战争，连续五年未分胜负，满目疮痍，哀鸿遍野。老百姓处于水深火热之中。
塔利斯目睹惨景，便去游说两国首领，晓以利害，建议停战，但均遭到冷遇。
于是，他便扬言，上天反对战乱，某月某日利用日食作为警告。果然到了那天，两军正在酣战，突然太阳失去光辉，白昼顿时成了黑夜，双方将领大为恐慌，从此罢战言和。
这个传说当然未必可信，因为那时塔利斯是否有能力预测日食发生的时间是值得怀疑的，但这说明影子在宇宙空间也有如此妙用；而塔利斯深知影子的妙用，因此也敢于大胆地回答“金字塔之谜”的问题：即金字塔有多高？
当时，埃及法老阿美西斯悬赏征求这个答案。当然，要求答案是准确可靠的，如果信口开河，无根据地胡诌一个数，这会要受到惩罚的。因此，在很长一段时间里没有人应征。终于有一天，金字塔前人山人海，争相目睹塔利斯的测高表演。首先，他在广场上竖立一根木棍，在日光照耀下，顺着影子从木棍的底部引出一条直线，量线长等于木棍高的地方做一个记号；他目不转睛地注视着影子的变化，当棍顶的影子与记号重合时，立即快步跑到金字塔塔顶的影子处去做一个标志；他认为，木棍影长与棍长相等时，塔高就应该等于塔影长的，只需量塔影长就知道塔高了。
是的，这个方法很简单，他的原理也是容易被接受的。可是，当他量了塔影的部分长度（全部长度应是从塔中心开始，而有一部分处于底盘位置），准备再去量取金字塔底盘的宽度时，有人喊叫起来：“塔利斯的测量不准！”
等他弄清是怎么回事时，不禁皱起眉头，看看影子，叹了口气！原来，就在他跑去设立塔顶影子的标志时，木棍的影子又变动了；而且，由于金字塔的底盘很大，需要量取底盘宽度，以便确定中心到边界的距离，按这距离加上所见影子的长度才是塔高，本来选择影子方向也不能严格与塔的一边平行，现在方向又偏移了，因此他的失败之处在于测量目的物不是一根“杆”，而是底盘很大的金字塔。
塔利斯虽然第一次尝试失败了，但后来，却利用影子不停息地移动的性质巧妙地进行了新的尝试：观测两次，第一次定下木棍顶和塔顶的影子位置a和A，第二次b和B，那么，AB∶ab就是塔高与棍长之比了。棍长既为已知，自然就容易求出塔高来。
人们惊讶地看到塔利斯的超人智慧，无不叹为观止。然而，一座塔、一棵树，甚至一座山固然都可以应用这个方法测量高度，却没有人敢想象更高的物体，譬如说太阳，它到底有多高呢？
富于幻想的科学家想到，既然太阳是挂在天上的，日高也就是高了。那末，谁能够测得日高呢？
第一个接受挑战的是我国三国时代的科学家赵爽（公元3世纪），赵爽在作《周髀算经》注释时巧妙地创造了“双表人影法”来解决这个难题，他绘制了一幅《日高图》，在平地上面立两表（表即“杆”的意思），日照下显出影长AB和CD，作CE=AB，则ED为两影长度之差；接着他证明“黄甲”与“黄乙”的面积相等，而黄甲的面积是表高与两表之间距离的乘积，用影差作为黄乙的宽去除黄甲面积，便得黄乙的长，它的上端与日头相齐，加上表高，就是日高了。
赵爽测日高的方法可用下式表示：
GA FD ED
固然，由于地面不是很平的，而且表高与表间距离相对于日高来说过于微小，所以测得的日高是不够准确的。但是，赵爽却为后人提供了一种极为先进的测高望远之术。
历史的发展必然会使科学不断进步，就在赵爽之后几十年，与其同世纪的刘徽提出一种重差理论，发明了“重差术”，“重”就是重复，“差”是日照影子长度的差值，说明只需测两次求日影的差，就可以算出距离。刘徽对赵爽的日高测量法作了比较大的发挥，他认为，重差法用测日高可能不准确，但是，用于测量一座山、一座塔的高度却是游刃有余；特别是用于测量“可望不可即”的景物更是别开生面，譬如说在大陆要隔海测量海岛高度就可以用这种方法。
AC d ED
刘徽对影子的研究，使测高望远之术更加向前推进了一步。
无独有偶。赵爽创立用影子的有关数据进行测量的方法，不但被刘徽推广和发挥，在外国也有惊人的成果。例如，1569年在威尼斯出版的一本书上绘制的图，所说明的测量建筑物高度的方法，其原理与《海岛算经》的《望海岛》题一样；此外，明末时期，意大利传教士利玛窦来我国，曾口授《测量法义》一书，也记载有与《望海岛》相类似的题目。外国的成果与刘徽方法大同小异，虽不能说他们的成果是源自刘徽，然而，这已是16、17世纪的事了，而刘徽的“重差术”却在他们一千多年前已研究出来了。
有人追溯更早期利用影子测量景物的方法，可溯源至古埃及或古印度的时代，但是，除职像塔利斯那样的传说之外，基本上已没有什么当时的文献可查。而在欧洲，虽然有许多利用影子原理的测量的方法记载在数学书籍或某些文学作品中（例如凡尔纳在小说《神秘岛》中描述了算术测峭壁的高度），也多半是近代的事；像16世纪威尼斯出版的那本书则是很少见的。
人的自身能力是有限的，不能直接去丈量海岛的高度，更无法量出至海岛的距离，然而，凭借影子，却能把理想（甚至可以称为幻想）变成现实。
如果我们回味那首短短的《影子》诗，就能悟出一番真谛。
人们在研究影子的功用时，也曾出现一些疑点，例如有人怀疑塔利斯第一次应用木棍的影子测量金子塔高度的原理是否正确。
木棍比金字塔矮得多，木棍的影长等于棍子高度时，α=45°，但此时β不是45°，说明金字塔影长并不就是它的高度。那么，为什么可以认为塔利斯的方法是可行的呢？
道理很明显，因为木棍与金字塔的距离相对于与太阳的距离来说太微不足道了，因此太阳射至木棍和塔的光线可以认为是平行的，这也是赵爽方法实际上不能用于测日高的原因之一。从另一方面看，如果光源很近（例如是一盏灯），塔利斯的方法就不实用了，而刘徽的方法却是可行的。
费尔马定理
费尔马是一个十分活跃的业余数学家，喜欢和别人通信讨论数学问题。
他差不多和同时代的数学家都通过信，受到人们的敬重。
费尔马经常提出一些难题，寄给熟人，请他们解答，然后再把这些解答与自己的解答对照。他提出的猜想，有被否定掉的；但是他证明过的定理，却从没有被推翻过。其中，不少成了后来书上的重要定理。费尔马在数论上作过杰出贡献。例如，他发现并证明了一个很重要的基本定理： P-1若P为素数，正整数a不能被P整除，那么a -1这个数，一定能够被P整除。
这个定理叫做费尔马定理或者费尔马小定理。1640年，当费尔马证完这个定理后，兴奋地写信告诉他的朋友说：“我浸浴在阳光中！这个定理按其在数论和近世代数中的重要性来说，的确是值得称道的。
6
比如我们要考察5-1这个数能不能被7整除，根据费尔马小定理，由于 6 7-15-1=5-1，所以知道它一定能被7整除。事实也正是这样。
6
5-1=15624=7×2232。
100
因为这个数小，所以可以写出来判断。如果是问1981-1能不能被101整除，就不好算出来看了，但是根据 100 101 1981-1=1981-1-1，所以可以保险这个数能被101整除。1621年，20岁的费尔马，在巴黎买了一本丢番都的《算术学》的法文译本。不知他在什么时候，在书中关于不 2 2 2定方程x+y=z的全部正整数解的这一页上，用拉丁文写了这么一段话：“任何一个数的立方，不能分解为两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分解成两个数的四次方之和；一般来说，任何次幂，除平方以外，不可能分解成其他两个同次幂之和。我想出了这个断语的绝妙证明，是书上这空白太窄了，不容我把证明写出来。”
在自己的书上空白处写心得，是一些人的读书习惯，通常叫作“页端笔记”。费尔马的这段页端笔记，用数学的语言来表达就是：形如 n n n x+y=z的方程，当n大于2时，不可能有正整数解。
费尔马虽然在数学上有很多重大成就，但是他生前几乎没有出版过什么数学著作。他的著作大都是在他死后，由他的儿子，把他的手搞和与别人往来的书信整理出版的。
费尔马死后，有人翻阅他的那本丢番都的书，发现了那段写在书眉上的话。1670年，他的儿子出版了费尔马里的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断，称为费尔马大定理或者费尔马问题。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫本来是普鲁士派往俄罗斯的一位公使。后来，他成了一名数学家。
哥德巴赫和费尔马一样，很喜欢和别人通信讨论数学问题。不过，他在数学上的成就和声望，远远不如费尔马，有的人甚至认为他不是数学家。其实，有资料说，他是彼得堡科学院院士。
哥德巴赫与另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉经常通信。他们有15年以上的通信历史，经常讨论的是数学问题。
1742年6月7日，哥德巴赫写信告诉欧拉，说他想冒险发表一个猜想：“大于5的任何数是三个素数的和。”这里要顺便交待一句，有一个时期，人们把1看成是特殊的素数；后来，才像今天这样，把1与素数严格区别开来。同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说，他认为：“每一个偶数都是两个素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的。”
这次通信的内容传播出来后，当时数学界把他们两人通信中谈到的问题，叫做哥德巴赫问题。后来，它被归纳为：命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；命题B：每一个大于或者等于9个奇数，都可以表示为三个奇素数的和。
这就是今天我们所说的哥德巴赫猜想，实际上，应该是哥德奇巴赫——欧拉猜想。比如 50=19+31，51=7+13+31 52=23+29，53=3+19+31当然，表示方法可能是很多的。比如 50=3+47=7+43=13+37=19+31很明显，如果命题A成立，那么，命题B也就成立。因为假设N是大于或者等于9的奇数，那么，N-3就是大于或者等于6的偶数。命题A成立，就是存在着奇素数P与P，使得N-3=P+P，这就是N=3+P+P，就像前面的 1 2 1 2 1 250与53的关系一样。但反过来，如果证明了命题B成立，并不能保证命题A就一定成立。
19世纪的很多大数学家，都研究过哥德巴赫猜想，但是进展不大。
1900年，希尔伯特在巴黎国际数学家会议上，提出了23个研究题目，这就是有名的希尔伯特问题，可以说这是23个大难题。哥德巴赫猜想命题A，与另外两个有关的问题一起，被概括为希尔伯特第八问题。
到了1912年，在第五届国际数学会议上，著名的数论大师兰道发言说，哥德巴赫问题即使改成较弱的命题C，也是现代数学家所力不能及的。
命题C意思是：不管是不超过3个，还是不超过30个，只要你想证明存在着一个这样的正数c，而能“使每一个大于或等于2的整数，都可以表示为不超过c个素数之和”。
过了9年，到了1921年，著名数论大师哈代在哥本哈根召开的国际数学会上说：哥德巴赫猜想的困难程度，可以与任何没有解决的数学问题相比拟。
哈代也认为是极其困难的，但是不像兰道说得那样绝对。
1930年，苏联25岁的数学家西涅日尔曼，用他创造的“正密率法”，证明了兰道说的那个现代数学家力不能及的命题C，还估算了这个数c不会超过S，并算出S≤800000，人们称S为西涅日尔曼常数。
西涅日尔曼的成就震惊了世界。这是哥德赫猜想研究史上的一个重大突破。可惜他只活了33岁。
1930年以后，包括兰道在内的很多数学家，竟相缩小S的估值，到1937年，得到S≤67。
在1937年，哥德巴赫猜想的研究，又取得了新的成就。苏联著名的数学家伊·维诺拉多夫，应用英国数学家哈代与李脱伍特创造的“圆法”，和他自己创造的“三角和法”证明了：充分大的奇数，都可以表示为三个奇素数之和。
伊·维诺格拉多夫基本上解决了命题B，通常称为“三素数定理”。
坚固无比的堡垒哥德巴赫猜想，正在被人们逐个攻破。
这里要注意，命题B所说的是每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇数之和。数学家在证明这个命题时，往往把9放大到很大很大，比方说放大到十万，人们只要证明每一个大于十万的奇数，都可以表示为三个奇素数之和，就算基本上证明了命题B。对于剩下的那一部分从九到十万的有限个奇数，是否每个都可以表为三个奇素数之和，可以暂时不管，留待以后去检验。所以叫做“基本上”证明了命题B。
实际上，维诺格拉多夫未检验的有限个奇数，是9到10的400万次方之间的奇数，即1后面跟400万个0那么多个数中的奇数。如果真要去逐个检验每个是否能表为三个奇素数的和的话，那时还没有电子计算机，就算用现在最快的电子计算机，从他那时算到现在也算不完。再说也没有那么大的素数表供他使用。前面已经介绍过，现在最好的素数表才编到五千万。可见凡是大于10的400万次的奇数都能表为三个奇素数之和，这点被证明了，这就更不简单了。因为前面的那些奇数到底还是有限个，而这里证明了的是无穷多个！
维诺格拉多夫的工作，相当于证明了西涅日尔曼常数S≤4。
命题B基本上被解决了，于是有些不太了解数论情况的人，曾经认为只差一步就到命题A了，谁知这一步的腿迈出了40多年，还没有着地哩！
有人核对过从6到3300万的任何偶数，都能表为两个奇素数之和。这种核对工作是一直有人在作的。
有的人核对，是想找到一个不能表为两个奇素数之和的偶数，即找到一个反例，一举否定哥德巴赫猜想。这样，哥德巴赫猜想便宣告解决。
有的人核对，是想得到一些统计数字，摸清一些规律，为证明哥德巴赫猜想作准备。
当然，也有人可同时兼有上述两种意图。
这里要注意，无论是从6算到3300万也好，还是从6算到3300亿也好，都是有限个数。由这些有限个数统计出的任何数据，除非是反例，都是不能用来当作证明的依据。
在命题A的研究过程中，人们引入了“殆素数”的概念。
什么叫殆素数？我们知道，除1以外的任何一个正整数，一定能表示成若干个素数的乘积，这其中的每一个素数，都叫做这个正整数的一个素因子。
每一个正整数，相同的素因子要重复计算，它有多少个素因子，是一个确定的数。如果这个正整数本身就是素数，就说它只有一个素因子。以25到30这六个数为例： 25=5×5有2个素因子 26=2×13有2个素因子 27=3×3×3有3个素因子 28=2×2×7有3个素因子 29是素数有1个素因子 30=2×3×5有3个素因子殆素数就是素因子（包括相同的和不同的）的个数不超过某一个固定常数的自然数。例如25到30的六个数中，25、26、29三个数，是素因子不超过2的殆素数，其余三个不是。要是说素因子不超过3的数是殆素数，那这六个数就是殆素数。
应用殆素数的概念，可以提出一个新命题 D，通过对这个命题的研究，来接近命题A。
命题D：每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和。
这个命题简记为“m+n”。
注意，这里的“3+4”或者“1+2”等是数学命题的代号，与3+4=7或者1+2=3毫无任何关系。就像有的电影院把座位13排8号简写作“13-8”，与13-8=5没有任何关系一样。
例如，“1+2”就是每个充分大的偶数，都可以表示成素因子的个数不超过1个（即素数），与素因子的个数不超过2个的两个数的和。比如100=23+7×11，434=31+13×31，168=79+89等都是合乎要求的。如果能证明，凡是比某一个正整数大的任何偶数都能像这样，表示成一个素数加以两个素数相乘，或者表示成一个素数加上一个素数，就算证明了“1+2”。
如果能证明“1+1”，就基本上证明了命题A，也就是基本上解决了哥德巴赫猜想。等到那时，哥德巴赫猜想就该叫哥德巴赫定理了。——人们已经为此奋斗了将近240年。
要让人类接受到一种新数，开始往往是非常困难的，甚至还曾经有人为此丢了性命。第一个发现无理数的人古希腊人希帕索斯就被毕达哥拉斯的忠实信徒们抛进大海喂了鲨鱼。负数虽然没有弄出人命，但是也在好几个世纪中把欧洲的数学家们搞得六神无主晕头转向。大名鼎鼎的英国数学家、牛津大学教授瓦里斯曾经因为负数闹了一个大笑话，他说：“负数比无穷大还要大”，连后来的大数学家欧拉，也对此深信不疑！直至19世纪时，有些数学家如德·摩根、马塞勒还说负数“十分荒唐”，主张把它“从代数里驱逐出去！”
正当欧洲数学家们被无理数和负数弄得晕头转向还没有完全清醒过来的时候，新的问题又来了，他们遇到了一种更为奇怪的数，就是负数开平方。
比如解方程x2 + 1= 0，移项得x2 = -1最后解出x儿当然指的是实数）的平方能够等于- 1呢？最初遇到这种数的人，是法国的舒开。然而第一个认真讨论这种数的，却是文艺复兴时期意大利有名的“怪杰”、三次方程解法获得者之一的卡丹。
卡丹在1545年提出一个问题：“把10分成两部分，使它们的面积是40。”
2
他列出方程x（10-x）=40整理后得x-10x+40=0，结果解出这两个根是5嘲地说：“尽管我的良心会受到多大的责备，但是，的的确确5 5差不多过了100年，1637年，解析几何的创始人笛卡儿才给这种“虚幻之数”取了一个名字叫“虚数”（和“实数”相对）。又过了140年，大数学家欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并且用i（imaginary虚幻）来表示它的单位牛津大学教授瓦里斯具有丰富的想象力，给虚数找到了一个更巧妙的“解释”“假设某人欠别人10亩地，即他有-10亩，而这-10亩地又恰好是个正方形，那么它的边长不就是最有名的是莱布尼兹评论虚数时一段颇带神秘色彩的话：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖怪物，那个我们称之为虚的-1的平方根。”看，虚数竟成了上不着天、下不着地的“两栖怪物”！
虚数从开始出现以后，经过了两个世纪，还是得不到人们的正式承认。
大家都知道，把一个实数和一个纯虚数相加，得到形式如a+bi的这种数，叫做复数。复数这个名词是德国数学家高斯先提出的。高斯虽然感到这种数有点虚无缥缈，但又觉得它很有可爱之处。你看，如果不承认这种数，代数方程便有的无解，有的一个解，有的两个解……五花八门，毫无规律可言；如果承认了它，代数方程就都有解，而且n次方程不多不少恰好有n个解！此外，对复数进行代数运算，其结果还是复数（实数和纯虚数只是复数的特例），这样便形成了一个完整的数域。
复数既然有这么多的“优越性”，为什么数学家对它总是疑虑层层、迟迟不接受呢？直至19世纪中期，剑桥大学的教授们仍然抱着“厌恶”的心情，对它进行抵制。简单点说，就是因为这种数“看不见”，同时也“用不上”，缺乏实践的基矗为此立功的是挪威测量学家末塞尔，他找到了复数的几何表示法。众所周知，所有实数都可以用直线上的点来表示，正数用0右边的点来表示，负数用0左边的点表示；无理数如 2，可以用单位边长的正方形的对角线长度来表示。因为“看得见”，大家才不得不承认了负数和无理数。末塞尔发现，所有复数a+bi都可以用平面上的点来表示，而且复数a+bi与平面上的点一一对应。这样一来，复数就找到了一个“立足之地”，而且开始在地图测绘学上找到了它应用的价值。
同时，数学家又找到了复数的三角表示法r（cosθ+sinθ），其中r叫 Q做复数的模，θ叫做幅角。后来又找到了复数的指数表示法re（e表示自然 Q对数的底）。即复数z=a+bi=r（cosθ+isinθ）=re。若令r=1，θ=π，就 in iπ可以得到e=1，即e -1=0，这个著名的式子是欧拉得到的，它把数学中五个最重要的数1，0，i，π，e溶为一体，被誉为整个数学中最卓越的公式之一。
复数在几何上找到了它的位置以后，人们对它就另眼相看了。从18世纪末起，以欧拉为首的一些数学家，开始发展一门新的数学分支，叫做复变函数论。大家都学过函数，但在中学里，函数自变量的取值范围仅限于实数。
如果把函数自变量 z的取值范围扩大到复数，那么这种函数就叫做复变函数。即复变函数W=f（z），其中z，W都是复数。
一个复数如果可以表示为平面上的一个点，那么自变量z的取值范围就是平面上的一个点的集合，相应的函数W的取值范围却是另一个平面上的一个点的集合。从几何角度来看，所谓复变函数，就是把甲平面上的一个图形A（点的集合）变换成乙平面上的一个图形B（也是点的集合）。研究复变函数性质的这一门科学，就是复变函数论。19世纪以后，由于法国数学家柯西、德国数学家黎曼、魏尔斯特拉斯的巨大贡献，复变函数论取得了飞跃的发展，并且广泛的运用到了空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理学等方面。把这种“虚幻之数”第一次应用到工程部门取得重大成就的，是俄罗斯的“航空之父”儒可夫斯基。
尼古拉·叶哥洛维奇·儒可夫斯基1847年1月17日生于俄国弗拉基米尔省，21岁毕业于莫斯科大学的应用数学专业。他具备多方面的才能，特别在航空专业方面很有造诣，后来就专门从事飞行的研究。
1890年，儒可夫斯基在俄国自然科学家会议上作了《关于飞行的理论》的演说。第二年便写出了有名的关于飞行的著作《论鸟之飞翔》。他在长期的观察和研究过程中，发现了鸟类飞行的许多奥秘，即作出了一个大胆的预言：飞机可以在空中“翻筋斗”，当时不少人对他的预言都持怀疑态度，根本没有哪一个飞行员敢于冒险去尝试。十多年以后，陆军中尉聂斯切洛夫做了世界上第一次飞机空中“翻筋斗”的飞行动作，以后这种特技飞行就称为“聂斯切洛夫筋斗”。儒可夫斯基的预言被证实了，他的预言就是根据复变函数的理论计算出来的。
在儒可夫斯基生长的时代，飞机刚刚飞上了天。飞机为什么能飞上天，它应该怎样设计，怎样改进，这一切一切找不到可靠的理论根据，全凭实验来摸索，特别是无法运用数学这个有力工具。由于盲目的实践，所以成功的机会很少，失败的时候居多。一般的科学家都认为，飞行这门学问只能以实验为基矗莫斯科航空学校校长勃劳茨就曾经说过：“要想依靠数学来建立航空学的某些定律，是很危险的事情。”
儒可夫斯基却不相信这一套。他研究了围绕和流过障碍物的不断运动着的气流分子，于1906年（就是莱特兄弟的飞机飞上天空后的第三年）发表了论文《论连接涡流》，成功地解决了空气动力学的主要问题，创立了以空气动力学为基础的机翼升降原理，并找到了计算飞机翼型的方法。这一切的成就，都是依赖于那个前人感到不可捉摸的“虚幻之数”，以及由它延伸出来的复变函数论。
儒可夫斯基翼型，依赖于有名的儒可夫斯基变换，这是一个公式线性的复变函数 1 a2 W 2 z其中z为自变量，W为函数a是一个常数。前面说过，当自变量z的取值范围是平面上一个点集时，函数W的取值范围是另一平面上的一个点集。
复变函数z平面上一个图形A变换成W平面上的一个图B（这种变换又称为“转绘”）。上述儒可夫斯基变换，能把z平面上以P（P不在坐标轴上）为圆心的圆，变成W平面上飞机翼型的截面图。这个翼型就是有名的儒可夫斯基翼型。
实际上，儒可夫斯基从理论上提出的这个翼型，要想完全照样制作是比较困难的。实际使用的翼型是根据实验而描出的经验曲线制作的。但是，由于这种理论上的翼型能够用解析式完美地表达出来，对具有这种假想翼型的飞机性能就可以作充分的计算或估计，然后把计算的结果和实际的翼型作比较，就可以为设计出各种优良翼型提供资料。总之，有了理论的翼型，就可以指导我们的实践，在制作翼型的过程中避免盲目性。所以儒可夫斯基翼型在航空工程学上有着重要的意义，从而为从事这项工作的人们所熟悉。1916年儒可夫斯基的重要著作《航空理论基捶被译成法文，成为航空工程师和飞机设计家的必备手册。
然而，另外有一个中学老师声称也会解三次方程，他便是塔塔利亚。
塔塔利亚是16世纪意大利著名的靠自学成才的数学家，为三次方程求解做出了杰出的贡献。
塔塔利亚原名方塔那，出生于意大利北部的布里西亚，父亲在邮局任职。
他幼年时，正值意大利与法国交战。有一次父母带他逃到天主教堂避难。法军闯进教堂，杀死他的父亲，方塔那的头部也受了重伤。是母亲在尸骸堆中找到他，由于伤势过重，加上神经受到刺激，伤愈后说话不灵，吐字不清，于是得了个绰号叫“塔塔利亚”（意大利语，结巴之意）。后来他就以此绰号为笔名发表文章。
塔塔利亚由于幼年丧父，家境贫寒。因而经济拮据，没钱买文具纸张，母亲就把丈夫坟墓上的青石碑当做石板，教孩子在上面写写画画，认字学算术。小塔塔利亚天资智慧，勤奋刻苦，在数学上很有造诣，成年后就在意大利各地教授数学并以此来维持生活。他曾将欧几里得的《几何原本》译成意大利文，还发表了不少军事科学著作和数学论著，特别是成功地把数学理论应用于动力学中，对后来成为世界著名的物理学家的伽利略有着重要的影响。
1530年，布里西亚一位中学数学教师科拉向塔塔利亚提出了两个挑战性的问题：第一，试求一个数，其立方加上它的平方之二倍等于5（即求满足方程 3x+3x2=5的x值）。
第二，试求三个数，其中第二个数比第一个数大2，第三个数又比第二个数大 2，三数之积等于 1000[即求解方程 x（x+2）（x+4）=1000， 3 2x+6x+8x=1000]。
当时，类似这样的三次方程都在数学界的禁区之内，没有人敢去问津。
塔塔利亚出于好奇心，跃跃欲试，经过一番推演，居然得出了答案，即： 1 x 2 3 64 64 x 27 27塔塔利业求出了这两道题的实根后，并没有公布自己的解法。但从此以后，塔塔利亚在数学领域便开始崭露头角。
费罗的学生菲俄听说塔塔利亚解出了科拉的三次方程，心中很不服。他和塔塔利亚约定，于1535年2月22日在米兰市大教堂进行一场公开的数学竞赛。当塔塔利亚得知菲俄是费罗教授登堂入室的弟子时，心想，竞赛时菲俄难免会拿三次方程来为难自己，切不可掉以轻心。于是，他苦心钻研三次方程的解法，昼夜不停的运算，却毫无进展。比赛日期渐渐迫近，塔塔利亚心急如焚、惶恐不安。2月11日，他伏案通宵，钻研到第二天早上。当他走出户外呼吸一口新鲜空气的时候，多日冥思苦想得不到解答的问题，竟豁然开朗，终于找到了进一步解决三次方程的办法。塔塔利亚回忆说：“我运用了自己的一切努力、勤勉和技巧，以便取得解这些方程的法测。结果很好，我在规定的期限前十天，即2月12日，就做到了这点。”
2月22日，米兰的大教堂热闹非凡，大家都等着看竞赛。比赛开始了， 3双方各出了30个三次方程的题目，其中包括x+mx=n类型的方程。这些难题，使前来观阵的人们无不摇头咂舌，迷惑不解。可是，不到两个小时，塔塔利亚便出人意料地宣布，30个题已全部解答出来了。众人瞠目结舌，心中却是赞叹不已。然而菲俄却一筹莫展，一道题也未解出。最后塔塔利亚以30∶0大获全胜。
消息一经传出，极大地震惊了数学界。塔塔利亚在获胜之后，再接再励，继续钻研。终于在1541年得到了三次方程的公式解，打开了僵持了700多年的局面。
一般一元三次方程的形式如
b
y3 + by2 + cy + d = 0，设y 3
b2 2b3 bc
x3 3 27 3
b 2 2b3 bc
令p 2 27 3
3 2
得新方程：x+px+q=0（1）
在此，只须研究这样类型的三次方程就行了。
卡尔丹的办法，是引入两个新变量t与u。
令 tu
3
2 2 2 p 3
（2） + 4（3）则为：(t 3
化简得：(t 3
2 p 3
即t 3
（2）与（4）联立，可得：
u
这里t、u只取正根。
卡尔丹用几何方法证明：x即为方程（1）的一个解。我们可以用牛顿二项式定理验证（6）式成立： x3 3 q 3 3即证明x+px+q=0将（5）、（6）式结合起来可得到： q q 2 p 3 q q 2 p 3 x 2 2 3 2 2 3这就是塔塔利亚——卡尔丹公式。它又可以化简为： 3 q 3 q x 2 2这里D 2 3 D＞0时，有一实根二虚根。D＜0时，有三个实根。D=0时，若P=q=0，有三重零根；若(q)2 2 3三次方程（1）应当有三个根，但卡尔丹只求出实根，是不完全的。直到 21732年欧拉才得到求出全部根的方法。如果ω、ω表示1的两个立方虚根， 2即方程x+x+1=0的两个根，则t和u的立方根写全了分别应为： 3 3 2 3 2 3 3 2 t , tw , tw和 uw , uw这样，方程（1）的全部根应为： q q x 1 2 2 x 2 2 2 X 3 2 2 b最后，由前设y 3中国剩余定理在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百令五便得知。”
这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。
“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组 N=3x+2，N=5y+3，N=7x+2的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组： N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）《孙子算经》所给答案是N=23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是： N=70×2+21×3+15×2-2×105。
这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对与一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R、R、R 1 2 3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于给出公式 N=70×R+21×R+15×R-P×105（P是整数） 1 2 3孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七下媳、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性： 3×5×7 70 3 3×5×7 21 5 3×5×7 15 7也就是说，这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k=2，k=1，k=1，那么整 1 2 3数k（i=1，2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时 i候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数R、R、R的情况下 1 2 3 M 3×5×7 R×k× 1 1 3 1 3 1 M 3×5×7 R2×k 2× 5 5 M 3×5×7 R×k× 3 3 7 3 7 3综合以上三式又可得到 3×5×7 3×5×7 3×5×7 R×2× 1 3 2 5 3 7≡R(mod3) 1≡R(mod5) 2≡R(mod7) 3因为M=3×5×7可被它的任一因子整除，于是又有： 3×5×7 3×5×7 3×5×7 (R 1×2× 3 5 7≡R（mod3） 1≡R（mod5） 2≡R（mod7） 3这里的P是整数。这就证明了《孙子算经》的公式。应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a、a……a相除得余数R、R、……R，即 1 2 n 1 2 n N≡R（mod ai）（i=1、2、……n） i只需求出一组数K，使满足 i M ki≡1(mod aai )(i a i那么适合已给一次同余组的最小正数解是 M M M M N 1 1 2 2 3 3 n n a a a a 1 2 3 n这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所说，它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。
孙子问题出现在公元四世纪的中国算书中，这并不是偶然的。我国古代天文历法资料表明，一次同余问题的研究，明显地受到天文、历法需要的推动，特别是和古代历法中所谓“上元积年”的计算密切相关。大家知道，一部历法，需要规定一个起算时间，我国古代历算家把这个起点叫做“历元”或“上元”，并且把从历元到编历年所累积的时间叫做“上元积年”。上元积年的推算需要求解一组一次同余式。以公元三世纪三国时期魏国施行的《景初历》做例，这部历法规定以冬至、朔旦（朔日子夜）和甲子日零时会合的时刻作为历元。设a是一回归年日数，b是一朔望月日数，当年冬至距甲子日零时是R，离平朔时刻是R日，那么《影初历》上元积元数N就是同余组 1 2 aN≡R（mod 60）≡R（mod b） i 2的解。到了南北朝时期，祖冲之《大明历》（公元462年）更要求历元必须同时是甲子年的开始，天“日月合璧”、“五星联珠”（就是日、月、五大行星处在同一方位），月亮又恰好行经它的近地点和升交点。这样的条件下推算上元积年，就相当于要求解十个同余式了。天文历法数据一般又都十分庞杂，所以，在《孙子算经》成书前后的魏晋南北朝时期，我国的天文历算家无疑已经能够求解形式比《孙子算经》“物不知数”题复杂得多的一次同余式，因而必定掌握了按一定程序计算一次同余式的方法。《孙子算经》比例题的形式总结、反映了这一事实。以后天文历算家长期沿用孙子算法推算上元积年，这中间肯定会引起更加深入的探讨。到公元13世纪，大数学家秦九韶集前法之大成，终于在一次同余式的研究上获得了超越前人的辉煌成果。
秦九韶，字道古，生活于南宋时期，自幼喜好数学，经过长期积累和苦心钻研，于公元1247年写成《数书九章》。这部中世纪的数学杰作，在许多方面都有创造，其中求解一次同余组的“大衍求一术”和求高次方程数值解的“正负开方术”，更是具有世界意义的成就。
这里主要介绍秦九韶对一次同余论的伟大贡献。
秦九韶在《数书九章》中明确地系统地叙述了求解一次同余组的一般计算步骤。秦的方法，正是前述的剩余定理。我们知道，剩余定理把一般的一 M次同余问题归结为满足条件K（mod a）的一组数k的选定。秦九韶给 i i i a i这些数起名叫“乘率”，并且在《数书九章》卷一“大衍总术”中详载了计算乘率的方法——大衍求一术”。
在秦九韶那个时代，计算仍然使用算筹。秦九韶在一个小方盘上，右上布置奇数g，右下布置定数a，左上置1（他叫它做“天元1”），然后在右行上下交互以少降多，所得商数和左上（或上），直到右上方出现1为止。
下页就是秦九韶的一般筹算图式，右边是一个数字例子（g=20，a=27，k=c=23）。
4
秦九韶在《数书九章》中采集了大量例题，如“古历会积”、“积尺寻源”、“推计土功”、“程行计地”等等，广泛应用大衍求一术来解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题。在这些实际问题中，模数a并不总是两两互 i素的整数。秦九韶区分了“元数”（a是整数）、“收数”（a是小数）、 i i“通数”（a是分数）等不同情形，并且对每种情形给出了处理方法。“大 i衍总术”把“收数”和“通数”化成“元数”的情形来计算，而对于元数不两两互素的情形，给出了可靠的程序，适当选取那些元数的因子作定数而把问题归结为两两互素的情形。所有这些系统的理论，周密的考虑，即使以今天的眼光看来也很不简单，充分显示出秦九韶高超的数学水平和计算技巧。
秦九韶小时曾跟随他父亲到南宋京城杭州，向太史局（主管天文历法的机构）的官员学习天文历法，“大衍求一术”很可能就是他总结天文历法计算上元积年方法的结果。但是“大衍求一术”似乎没有为他同时代的人所充分理解。明中叶以后几乎失传。一直到清代“大衍求一术”又重新被发掘出来，引起了许多学者（张敦仁、李锐、骆腾风、黄宗宪等）的兴趣。他们对“大衍求一术”进行了解释、改进和简化，其中黄宗宪《求一术通解》对模数非两两互素的情形给出了更加简明的方法，但是时代已是晚清。
从《孙子算经》“物不知数”题到秦九韶的“大衍求一术”，我国古代数学家对一次同余式的研究，不仅在中国数学史上而且在世界数学史上占有光荣的地位。在欧洲，最早接触一次同余式的，是和秦九韶同时代的意大利数学家斐波那契（1170～1250），他在《算法之书》中给出了两个一次同余问题，但是没有一般的算法。整个水平没有超过《孙子算经》。直到十八、十九世纪，大数学家欧拉（1707～1783）于公元1801年对一般一次同余式进行了详细研究，才重新获得和秦九韶‘大衍求一术”相同的定理，并且对模数两两互素的情形，给出了严格证明。欧拉和高斯事先并不知道中国人的工作。公元1852年英国传教士伟烈亚力（1815～1887）发表《中国科学摘记》，介绍了《孙子算经》物不知数题和秦九韶的解法，引起了欧洲学者的重视。
1876年，德国马蒂生（1830～1906）首先指出孙子问题的解法和高斯方法一致，当时德国著名数学史家康托（1829～1920）看到马蒂生的文章以后，度评价了“大衍术”，并且称赞发现这一方法的中国数学家是“最幸运的天才”。
直到今天，“大衍求一术”仍然引起西方数学史家浓厚的研究兴趣。如1973年，美国出版的一部数学史专著《十三世纪的中国数学》中，系统介绍了中国学者在一次同余论方面的成就，作者力勃雷希（比利时人）在评论素九韶的贡献的时候说道：“秦九韶在不定分析方面的著作时代颇早，考虑到这一点，我们就会看到，萨顿称秦九韶为‘他那个民族’，是毫不夸张的。”
印度学者对一次同余论也有过重要贡献。从公元6世纪到12世纪，他们发展了一种称为“库塔卡”的算法，用来求解和一次同余式等价的不定方程组。“库塔卡”法出现在孙子算法之后，印度数学家婆罗门芨多（七世纪）、摩柯吠罗（九世纪）等人的著作中，都有和物不知数题相同的一次同余问题。
这当然不是要借此断言“库塔卡”法一定受到了孙子算法的影响，但是有人（如万海依等）硬说中国的“大衍求一”来源于“库塔卡”，就是毫无根据的妄说了。万海依居然把中国算法中数码从左到右横写作为“大衍术”受印度影响的重要根据。大家知道，中国古代至迟从春秋战国时期就开始使用算筹记数，我们今天还可以从现存的公元前三世纪的货币上看到这种从左到右的记数方法。由此可见，万海依的论点多么荒唐可笑。中国古代数学家对一次同余论的研究有明显的独创性和继承性，“大衍求一术”在世界数学史上的崇高地位是毋容置疑的，正因为这样，在西方数学史著作中，一直公正地称求解一次同余组的剩余定理为“中国剩余定理”。
影子的数学应用
自古以来，人们仰望遥远的天空时，就会情不自禁地想道：“天到底有多高呢？”
由于天高不可测，人们便想知道，挂在天空的太阳离地到底有多远。孔子不能回答“小儿辩日”的问题，然而，初生的牛犊不怕虎，有一个儿童却敢于当着大人的面巧辩太阳离地有多远。
约在公元300年，晋元帝司马睿问他才七八岁的儿子司马绍道：“长安离我们这儿远，还是太阳离我们这儿远？”司马绍回答：“太阳。因为：有闻客自长安来，却未闻有人从日边来。”元帝很高兴，第二天在宴会上说起这件事，当时别人又问司马绍一遍相同的问题，可是他却回答“长安远”。
这下让元帝大为扫兴，正要提示，只见司马绍不慌不忙地补充说：“举目见日，不见长安。”这两句话引得元帝满心欢喜，登时四座惊服。司马绍才思敏捷，后来的人把远方亲友不能见面的思念用“长安远”为辞。成为千古名喻。
那么，到底是长安远还是太阳远，科学家们却是用具体的数学来说话。
长安在大地上，自然有办法丈量，而那个太阳高悬在空中，要测量它离我们这儿有多远就很难了。然而，人类的智慧到底还是征服了大自然。
这就是利用“影子”。
一首题为《影子》的诗写道：“岂能依此长短，判定人的高矮！”这首诗只有寥寥12个字，却揭示了一条深刻的哲理，它寓含于科学与人生之中，就影子本身来说，它貌不惊人，从来都是某种物体的附属品，又是虚无阴暗的代表，习惯被人瞧不起，认为是毫无价值的、空洞的，甚至把它的存在也看成是多余的。然而，我们岂可以依此长短来判断人的高矮呢？诚然，大自然的奇观五光十色，令人眼光缭乱，有多少惊奇奥妙的情与景令人神往啊！
对于张目可见的影子实在不屑一提。可是，真正的科学家却不认为影子毫无用处，因为他们早就理解了其中的哲理，明白了衡量一件事物的价值是不能光凭外感来做标准的。
不是吗？因为有了影子，人类才揭示了日食的秘密，同时，光学之中出现了成像原理，微积分学中有了变化率，测量学中有了测高望远之术，定时装置中有了日晷……早在公元前6世纪，古希腊学者塔利斯就曾经借用影子的作用去拯救战火中受难的百姓，据说当时美地亚和吕地亚国（位于现今土耳其西部）发生战争，连续五年未分胜负，满目疮痍，哀鸿遍野。老百姓处于水深火热之中。
塔利斯目睹惨景，便去游说两国首领，晓以利害，建议停战，但均遭到冷遇。
于是，他便扬言，上天反对战乱，某月某日利用日食作为警告。果然到了那天，两军正在酣战，突然太阳失去光辉，白昼顿时成了黑夜，双方将领大为恐慌，从此罢战言和。
这个传说当然未必可信，因为那时塔利斯是否有能力预测日食发生的时间是值得怀疑的，但这说明影子在宇宙空间也有如此妙用；而塔利斯深知影子的妙用，因此也敢于大胆地回答“金字塔之谜”的问题：即金字塔有多高？
当时，埃及法老阿美西斯悬赏征求这个答案。当然，要求答案是准确可靠的，如果信口开河，无根据地胡诌一个数，这会要受到惩罚的。因此，在很长一段时间里没有人应征。终于有一天，金字塔前人山人海，争相目睹塔利斯的测高表演。首先，他在广场上竖立一根木棍，在日光照耀下，顺着影子从木棍的底部引出一条直线，量线长等于木棍高的地方做一个记号；他目不转睛地注视着影子的变化，当棍顶的影子与记号重合时，立即快步跑到金字塔塔顶的影子处去做一个标志；他认为，木棍影长与棍长相等时，塔高就应该等于塔影长的，只需量塔影长就知道塔高了。
是的，这个方法很简单，他的原理也是容易被接受的。可是，当他量了塔影的部分长度（全部长度应是从塔中心开始，而有一部分处于底盘位置），准备再去量取金字塔底盘的宽度时，有人喊叫起来：“塔利斯的测量不准！”
等他弄清是怎么回事时，不禁皱起眉头，看看影子，叹了口气！原来，就在他跑去设立塔顶影子的标志时，木棍的影子又变动了；而且，由于金字塔的底盘很大，需要量取底盘宽度，以便确定中心到边界的距离，按这距离加上所见影子的长度才是塔高，本来选择影子方向也不能严格与塔的一边平行，现在方向又偏移了，因此他的失败之处在于测量目的物不是一根“杆”，而是底盘很大的金字塔。
塔利斯虽然第一次尝试失败了，但后来，却利用影子不停息地移动的性质巧妙地进行了新的尝试：观测两次，第一次定下木棍顶和塔顶的影子位置a和A，第二次b和B，那么，AB∶ab就是塔高与棍长之比了。棍长既为已知，自然就容易求出塔高来。
人们惊讶地看到塔利斯的超人智慧，无不叹为观止。然而，一座塔、一棵树，甚至一座山固然都可以应用这个方法测量高度，却没有人敢想象更高的物体，譬如说太阳，它到底有多高呢？
富于幻想的科学家想到，既然太阳是挂在天上的，日高也就是高了。那末，谁能够测得日高呢？
第一个接受挑战的是我国三国时代的科学家赵爽（公元3世纪），赵爽在作《周髀算经》注释时巧妙地创造了“双表人影法”来解决这个难题，他绘制了一幅《日高图》，在平地上面立两表（表即“杆”的意思），日照下显出影长AB和CD，作CE=AB，则ED为两影长度之差；接着他证明“黄甲”与“黄乙”的面积相等，而黄甲的面积是表高与两表之间距离的乘积，用影差作为黄乙的宽去除黄甲面积，便得黄乙的长，它的上端与日头相齐，加上表高，就是日高了。
赵爽测日高的方法可用下式表示：
GA FD ED
固然，由于地面不是很平的，而且表高与表间距离相对于日高来说过于微小，所以测得的日高是不够准确的。但是，赵爽却为后人提供了一种极为先进的测高望远之术。
历史的发展必然会使科学不断进步，就在赵爽之后几十年，与其同世纪的刘徽提出一种重差理论，发明了“重差术”，“重”就是重复，“差”是日照影子长度的差值，说明只需测两次求日影的差，就可以算出距离。刘徽对赵爽的日高测量法作了比较大的发挥，他认为，重差法用测日高可能不准确，但是，用于测量一座山、一座塔的高度却是游刃有余；特别是用于测量“可望不可即”的景物更是别开生面，譬如说在大陆要隔海测量海岛高度就可以用这种方法。
AC d ED
刘徽对影子的研究，使测高望远之术更加向前推进了一步。
无独有偶。赵爽创立用影子的有关数据进行测量的方法，不但被刘徽推广和发挥，在外国也有惊人的成果。例如，1569年在威尼斯出版的一本书上绘制的图，所说明的测量建筑物高度的方法，其原理与《海岛算经》的《望海岛》题一样；此外，明末时期，意大利传教士利玛窦来我国，曾口授《测量法义》一书，也记载有与《望海岛》相类似的题目。外国的成果与刘徽方法大同小异，虽不能说他们的成果是源自刘徽，然而，这已是16、17世纪的事了，而刘徽的“重差术”却在他们一千多年前已研究出来了。
有人追溯更早期利用影子测量景物的方法，可溯源至古埃及或古印度的时代，但是，除职像塔利斯那样的传说之外，基本上已没有什么当时的文献可查。而在欧洲，虽然有许多利用影子原理的测量的方法记载在数学书籍或某些文学作品中（例如凡尔纳在小说《神秘岛》中描述了算术测峭壁的高度），也多半是近代的事；像16世纪威尼斯出版的那本书则是很少见的。
人的自身能力是有限的，不能直接去丈量海岛的高度，更无法量出至海岛的距离，然而，凭借影子，却能把理想（甚至可以称为幻想）变成现实。
如果我们回味那首短短的《影子》诗，就能悟出一番真谛。
人们在研究影子的功用时，也曾出现一些疑点，例如有人怀疑塔利斯第一次应用木棍的影子测量金子塔高度的原理是否正确。
木棍比金字塔矮得多，木棍的影长等于棍子高度时，α=45°，但此时β不是45°，说明金字塔影长并不就是它的高度。那么，为什么可以认为塔利斯的方法是可行的呢？
道理很明显，因为木棍与金字塔的距离相对于与太阳的距离来说太微不足道了，因此太阳射至木棍和塔的光线可以认为是平行的，这也是赵爽方法实际上不能用于测日高的原因之一。从另一方面看，如果光源很近（例如是一盏灯），塔利斯的方法就不实用了，而刘徽的方法却是可行的。
费尔马定理
费尔马是一个十分活跃的业余数学家，喜欢和别人通信讨论数学问题。
他差不多和同时代的数学家都通过信，受到人们的敬重。
费尔马经常提出一些难题，寄给熟人，请他们解答，然后再把这些解答与自己的解答对照。他提出的猜想，有被否定掉的；但是他证明过的定理，却从没有被推翻过。其中，不少成了后来书上的重要定理。费尔马在数论上作过杰出贡献。例如，他发现并证明了一个很重要的基本定理： P-1若P为素数，正整数a不能被P整除，那么a -1这个数，一定能够被P整除。
这个定理叫做费尔马定理或者费尔马小定理。1640年，当费尔马证完这个定理后，兴奋地写信告诉他的朋友说：“我浸浴在阳光中！这个定理按其在数论和近世代数中的重要性来说，的确是值得称道的。
6
比如我们要考察5-1这个数能不能被7整除，根据费尔马小定理，由于 6 7-15-1=5-1，所以知道它一定能被7整除。事实也正是这样。
6
5-1=15624=7×2232。
100
因为这个数小，所以可以写出来判断。如果是问1981-1能不能被101整除，就不好算出来看了，但是根据 100 101 1981-1=1981-1-1，所以可以保险这个数能被101整除。1621年，20岁的费尔马，在巴黎买了一本丢番都的《算术学》的法文译本。不知他在什么时候，在书中关于不 2 2 2定方程x+y=z的全部正整数解的这一页上，用拉丁文写了这么一段话：“任何一个数的立方，不能分解为两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分解成两个数的四次方之和；一般来说，任何次幂，除平方以外，不可能分解成其他两个同次幂之和。我想出了这个断语的绝妙证明，是书上这空白太窄了，不容我把证明写出来。”
在自己的书上空白处写心得，是一些人的读书习惯，通常叫作“页端笔记”。费尔马的这段页端笔记，用数学的语言来表达就是：形如 n n n x+y=z的方程，当n大于2时，不可能有正整数解。
费尔马虽然在数学上有很多重大成就，但是他生前几乎没有出版过什么数学著作。他的著作大都是在他死后，由他的儿子，把他的手搞和与别人往来的书信整理出版的。
费尔马死后，有人翻阅他的那本丢番都的书，发现了那段写在书眉上的话。1670年，他的儿子出版了费尔马里的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断，称为费尔马大定理或者费尔马问题。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫本来是普鲁士派往俄罗斯的一位公使。后来，他成了一名数学家。
哥德巴赫和费尔马一样，很喜欢和别人通信讨论数学问题。不过，他在数学上的成就和声望，远远不如费尔马，有的人甚至认为他不是数学家。其实，有资料说，他是彼得堡科学院院士。
哥德巴赫与另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉经常通信。他们有15年以上的通信历史，经常讨论的是数学问题。
1742年6月7日，哥德巴赫写信告诉欧拉，说他想冒险发表一个猜想：“大于5的任何数是三个素数的和。”这里要顺便交待一句，有一个时期，人们把1看成是特殊的素数；后来，才像今天这样，把1与素数严格区别开来。同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说，他认为：“每一个偶数都是两个素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的。”
这次通信的内容传播出来后，当时数学界把他们两人通信中谈到的问题，叫做哥德巴赫问题。后来，它被归纳为：命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；命题B：每一个大于或者等于9个奇数，都可以表示为三个奇素数的和。
这就是今天我们所说的哥德巴赫猜想，实际上，应该是哥德奇巴赫——欧拉猜想。比如 50=19+31，51=7+13+31 52=23+29，53=3+19+31当然，表示方法可能是很多的。比如 50=3+47=7+43=13+37=19+31很明显，如果命题A成立，那么，命题B也就成立。因为假设N是大于或者等于9的奇数，那么，N-3就是大于或者等于6的偶数。命题A成立，就是存在着奇素数P与P，使得N-3=P+P，这就是N=3+P+P，就像前面的 1 2 1 2 1 250与53的关系一样。但反过来，如果证明了命题B成立，并不能保证命题A就一定成立。
19世纪的很多大数学家，都研究过哥德巴赫猜想，但是进展不大。
1900年，希尔伯特在巴黎国际数学家会议上，提出了23个研究题目，这就是有名的希尔伯特问题，可以说这是23个大难题。哥德巴赫猜想命题A，与另外两个有关的问题一起，被概括为希尔伯特第八问题。
到了1912年，在第五届国际数学会议上，著名的数论大师兰道发言说，哥德巴赫问题即使改成较弱的命题C，也是现代数学家所力不能及的。
命题C意思是：不管是不超过3个，还是不超过30个，只要你想证明存在着一个这样的正数c，而能“使每一个大于或等于2的整数，都可以表示为不超过c个素数之和”。
过了9年，到了1921年，著名数论大师哈代在哥本哈根召开的国际数学会上说：哥德巴赫猜想的困难程度，可以与任何没有解决的数学问题相比拟。
哈代也认为是极其困难的，但是不像兰道说得那样绝对。
1930年，苏联25岁的数学家西涅日尔曼，用他创造的“正密率法”，证明了兰道说的那个现代数学家力不能及的命题C，还估算了这个数c不会超过S，并算出S≤800000，人们称S为西涅日尔曼常数。
西涅日尔曼的成就震惊了世界。这是哥德赫猜想研究史上的一个重大突破。可惜他只活了33岁。
1930年以后，包括兰道在内的很多数学家，竟相缩小S的估值，到1937年，得到S≤67。
在1937年，哥德巴赫猜想的研究，又取得了新的成就。苏联著名的数学家伊·维诺拉多夫，应用英国数学家哈代与李脱伍特创造的“圆法”，和他自己创造的“三角和法”证明了：充分大的奇数，都可以表示为三个奇素数之和。
伊·维诺格拉多夫基本上解决了命题B，通常称为“三素数定理”。
坚固无比的堡垒哥德巴赫猜想，正在被人们逐个攻破。
这里要注意，命题B所说的是每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇数之和。数学家在证明这个命题时，往往把9放大到很大很大，比方说放大到十万，人们只要证明每一个大于十万的奇数，都可以表示为三个奇素数之和，就算基本上证明了命题B。对于剩下的那一部分从九到十万的有限个奇数，是否每个都可以表为三个奇素数之和，可以暂时不管，留待以后去检验。所以叫做“基本上”证明了命题B。
实际上，维诺格拉多夫未检验的有限个奇数，是9到10的400万次方之间的奇数，即1后面跟400万个0那么多个数中的奇数。如果真要去逐个检验每个是否能表为三个奇素数的和的话，那时还没有电子计算机，就算用现在最快的电子计算机，从他那时算到现在也算不完。再说也没有那么大的素数表供他使用。前面已经介绍过，现在最好的素数表才编到五千万。可见凡是大于10的400万次的奇数都能表为三个奇素数之和，这点被证明了，这就更不简单了。因为前面的那些奇数到底还是有限个，而这里证明了的是无穷多个！
维诺格拉多夫的工作，相当于证明了西涅日尔曼常数S≤4。
命题B基本上被解决了，于是有些不太了解数论情况的人，曾经认为只差一步就到命题A了，谁知这一步的腿迈出了40多年，还没有着地哩！
有人核对过从6到3300万的任何偶数，都能表为两个奇素数之和。这种核对工作是一直有人在作的。
有的人核对，是想找到一个不能表为两个奇素数之和的偶数，即找到一个反例，一举否定哥德巴赫猜想。这样，哥德巴赫猜想便宣告解决。
有的人核对，是想得到一些统计数字，摸清一些规律，为证明哥德巴赫猜想作准备。
当然，也有人可同时兼有上述两种意图。
这里要注意，无论是从6算到3300万也好，还是从6算到3300亿也好，都是有限个数。由这些有限个数统计出的任何数据，除非是反例，都是不能用来当作证明的依据。
在命题A的研究过程中，人们引入了“殆素数”的概念。
什么叫殆素数？我们知道，除1以外的任何一个正整数，一定能表示成若干个素数的乘积，这其中的每一个素数，都叫做这个正整数的一个素因子。
每一个正整数，相同的素因子要重复计算，它有多少个素因子，是一个确定的数。如果这个正整数本身就是素数，就说它只有一个素因子。以25到30这六个数为例： 25=5×5有2个素因子 26=2×13有2个素因子 27=3×3×3有3个素因子 28=2×2×7有3个素因子 29是素数有1个素因子 30=2×3×5有3个素因子殆素数就是素因子（包括相同的和不同的）的个数不超过某一个固定常数的自然数。例如25到30的六个数中，25、26、29三个数，是素因子不超过2的殆素数，其余三个不是。要是说素因子不超过3的数是殆素数，那这六个数就是殆素数。
应用殆素数的概念，可以提出一个新命题 D，通过对这个命题的研究，来接近命题A。
命题D：每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和。
这个命题简记为“m+n”。
注意，这里的“3+4”或者“1+2”等是数学命题的代号，与3+4=7或者1+2=3毫无任何关系。就像有的电影院把座位13排8号简写作“13-8”，与13-8=5没有任何关系一样。
例如，“1+2”就是每个充分大的偶数，都可以表示成素因子的个数不超过1个（即素数），与素因子的个数不超过2个的两个数的和。比如100=23+7×11，434=31+13×31，168=79+89等都是合乎要求的。如果能证明，凡是比某一个正整数大的任何偶数都能像这样，表示成一个素数加以两个素数相乘，或者表示成一个素数加上一个素数，就算证明了“1+2”。
如果能证明“1+1”，就基本上证明了命题A，也就是基本上解决了哥德巴赫猜想。等到那时，哥德巴赫猜想就该叫哥德巴赫定理了。——人们已经为此奋斗了将近240年。
