日志
数学大发现（二）
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斐波那契的数列
中世纪最有才华的数学家斐波那契（1175年～1259年）出生在意大利比萨市的一个商人家庭。因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学。成年以后，他继承父业从事商业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里岛。
斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究。他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因此有利于推动欧洲大数学的发展。他在其他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料。
回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》（1202年，或叫《算盘书》）。《算经》的出版，使他成为一个闻名欧洲的数学家。继《算经》之后，他又完成了《几何实习》（1220年）和《四艺经》（1225年）两部著作。
《算经》在当时的影响是相当巨大的。这是一部由阿拉伯文和希腊文的材料编译成拉丁文的数学著作，当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，在两个多世纪中一直被奉为经典著作。
在当时的欧洲，虽然多少知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅仅局限在修道院内，一般的人还只是用罗马数学记数法而尽量避免用“零”。斐波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，这部著作在欧洲大陆产生了极大的影响，并且改变了当时数学的面貌。他在这本书的序言中写道：“我把自己的一些方法和欧几里得几何学中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是决定写现在这本15章的书，使拉丁族人对这些东西不会那么生疏。
在斐波那契的《算经》中，记载着大量的代数问题及其解答，对于各种解法都进行了严格的证明。下面是书中记载的一个有趣的问题：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？
现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。
第1个月到第6个月兔子的对数是：
1，2，3，5，8，13。
我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。
显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内1对兔子能繁殖成233对。
在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。
这个数列可以由下面递推关系来确定：
a = a = 1
另外，我们还可以利用等比数列的性质，推导出斐波那契数列的一个外观比较漂亮的通项公式： 1 1 an 5 2 2读者可以用数学归纳法去加以证明。
在美国《科学美国人》杂志上曾刊登过一则有趣的故事：世界著名的魔术家兰迪先生有一块长和宽都是13分米的地毯，他想把它改成8分米宽、21分米长的地毯。
他拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔，并对他说：“我的朋友，我想请您把这块地毯分成四块，然后再把它们缝在一起，成为一块8分米×21分米的地毯。”奥马尔听了以后说道：“很遗憾，兰迪先生。您是一位伟大的魔术家，但您的算术怎么这样差呢！13×13=169，而8×21=168，这怎么办得到呢？”兰迪说：“亲爱的奥马尔，伟大的兰迪是从来不会错的，请您把这块地毯裁成这样的四块。”
然而奥马尔照他所说的裁成四块后。兰迪先生便把这四块重新摆好，再让奥马尔把它们缝在一起，这样就得到了一块8分米×21分米的地毯。
奥马尔始终想不通：“这怎么可能呢？地毯面积由169平方分米缩小到168平方分米，那一平方米到哪里去了呢？”
将四个小块拼成长方形时，在对角线中段附近发现了微小的重叠。正是沿着对角线的这点叠合，而导致了丢失一个单位的面积。读者不妨自己用纸试一下。
2
涉及到四个长度数5，8，13，21都是斐波那契数，并且13=8×21+1， 28=5×13-1。多做几次上述的试验，就可以发现斐波那契数列的一个有趣而重要的性质： 2 a=a·a±1（n≥2） n n-1 n+1除此之外，斐波那契数列还有一些有趣的性质，例如： 2 2 2m n -a=a·a m+n m-n 2n 0 n若用[i]表示不大于i的最大非负整数，i为非负实数。C=1，而C =0， n n-j其中j、n为非负整数。则斐波那契数列的前n项和S为： n n ( ) 2 S n n j有兴趣的话，读者可以证明一下，或者参阅有关的书籍。
斐波那契数列在实际生活中有非常广泛而有趣的应用。除了动物繁殖外，植物的生长也与斐波那契数有关。数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，第3年就有3枝，然后是5枝、8枝、13枝等等，每年的分枝数正好是斐波那契数。
生物学中所谓的“鲁德维格定律”，也就是斐波那契数列在植物学中的应用。
从古希腊直到现在都认为在造型艺术中有美学价值，在现代优选法中有重要应用的“黄金率”，实际和斐波那契数列密切相关。
a 5实际上，黄金率= Lim n n n+1
优选法中的分数法：
1.所有可能试验个数恰好是a-1个
n
a这时将前两个试验点放在试验范围的 n和 n位置上，也就是 a a n n选在第a-1点和第a-2点上作试验。比较这两个试验结果；如果第a-1点 n n n好，就划去第a-2点以下的试验范围；如果第a-2点好。就划去第a-1点 n n n以上的试验范围。在留下的试验范围中，还剩下a -1个试验点，另一个是 n-1下一步要作的新试验点。两点比较后，和前面作法一样，由坏点将试验范围切开，短的一段不要，留下包含好点的长的一段。这时新的试验范围只有a -1个试验点了。由此类推，直到试验结束为止。
n-2
显然，用分数安排上述试验，在a-1个可能的试验中，最多只须作n-1 n个试验就能找到它们中的最好的点。
2.所有可能的试验个数大于某一个a，而小于a -1 n-1 n+1此时，只须在试验范围内虚设几个试验点，凑成a -1个试验。于是， n+1这类问题也就归结为第1种情况，就可按照上述方法去处理了。
谈谈π和e
公元前550年，希腊数学家毕达哥拉斯发现毕氏定理（即我国发现的勾股定理），他当时非常高兴，曾杀猪宰牛，广宴宾客，以示庆贺。在应用勾股定理求直角三角形的某一边时，就要把一个数开平方，这时可能开得尽，也可能开不尽，若开不尽便出现了无理数。
无理数分为根数和超越数两种，其中π和e是两个重要的超越数。如果一个数是某个有理系数的多项式的根，这个数叫做代数数，否则就叫做超越数。
首先说π。
π，在国外又叫鲁道夫数，在我国却叫祖率、环率、圆率等。
最先得出π～3.14的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出π小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之（约480年），1610年荷兰籍德数学家 62鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值，通过 2边形计算π到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算π值到39位小数，这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。
以上都是古典方法计算π值。
3 3 3
x x x
在1706年，钉麦金利格列格里的级数arctgx = x - 3 5 7（|x|≤1）和下面的关系： 4 5 8 1884年，德国人Z·达什利用格列格里的 4 2 5 8计算出π的准确的200位数字。
值得提出的是，达什1824年生于汉堡，只活了短短的37年，便离开了人世，他是一个闪电般的计算者，是一位最了不起的人工计算者，他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法，在6分种内完成了两个20位数的乘法，在40分钟内完成了两个40位数的乘法；他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根。达什的这种非凡的计算才能在他制作7位对数表和从7000000到10000000之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用。
1873年，英国人威廉·桑克斯利用麦新的公式计算π到70位。
1961年，美国的雷思奇和D·桑克斯用电子计算机得出π值的100000位数字。
1706年，英国的威廉·姆士首先使用π这个符号，用来表示圆周和直径的比值，但只是在欧拉于1737年采用了这方法以后，π才在这种情况下得到了普遍的应用。
π在科学中的应用是极为广泛的，但有时它的出现也会是意想不到的。
例如，1777年，法国数学家毕封做过一个“小针实验”：先在桌上铺一张等距为平行横线的纸，再准备很多长为2cm的小针，然后将针随便地掷在纸上，掷完后，再将投掷次数除以针与平行线交叉的次数，却惊奇地发现：其所得值竟接近π！π，竟在一个与圆“无关”的问题中奇迹般地出现了。
我们再来说e。
在中学数学书中这样提出：以e为底的对数叫做自然对数。那么e到底有什么实际意义呢？
1727年，欧拉最先用e作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确定用e作为自然对数的底来纪念他。有趣的是，e正好是欧拉名字第一个小写字母，是有意的还是偶然巧合？现已无法考证！
e在自然科学中的应用并不亚于π值。像原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或考察地球年龄时便要用到e。
在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时也会用到e，在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时，也要用到e。
像电容器的充放电过程，也是按以e为底的指数规律变化的，以电容器放电为例，电容器的电压变化是随时间t作指数衰减的，即 t V c 0同π一样，e也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问题便要同e打交道。
答案是：使等分的各份尽可能接近e值。如，把10分成10÷e=3.7份，但 43.7份不好分，所以分成4份，每份为10÷4=2.5，这时2.5=39乘积最大，如分成3或5份，乘积都小于39。e就是这样神奇的。
1792年，15岁的高斯发现了素数定理：“从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这个规律越准确。”
这个定理到 1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。以e为底还有很多优越性。如以e为底编制对数表最好；微积分公式也具有最简的形式。
有趣的是，π和e虽不能用有限的式子表示出来，但却可用无穷级数表示： 1 1 e 2 ! 3! 1 1 1 1 1 3 5 7要补充说明的是：1882年德国数学家林德曼首先证明了π是超越数，从而完全否定了“化圆为方”作图的可能性。1844年，法国数学家刘维尔最先推测e是超越数，一直到了1873年才由法国数学家爱米特证明e是超越数。
这样人们逐步认识了有理数、无理数、代数数、超越数，建立了一个完整的实数系统。它的意义是十分巨大的。
出入相补原理
我国古代几何学不仅有悠久的历史，丰富的内容，重大的成就，而且有一个具有我国自己的独特风格的体系，和西方的欧几里得体系不同。这一几何体系的全貌还有待于发掘清理，本文仅就出入相补原理这一局部方面，就所知提出几点，主要根据是流传至今的以下各经典著作：《周髀算经》（简称《周髀》），《九章算术》（简称《九章》），刘徽《九章算术注》（简称《刘注》），《海岛算经》（简称《海岛》），赵爽《日高图说》和《勾股圆方图说》（简称《日高说》和《勾股说》）。
田亩丈量和天文观测是我国几何学的主要起源，这和外国没有什么不同，二者导出面积问题和勾股测量问题。稍后的计算容积、土建工程又导出体积问题。
我国古代几何学的特色之一是，依据这些方面的经验成果，总结提高成一个简单明白、看起来似乎极不足道的一般原理——出入相补原理，并且把它应用到形形色色多种多样的不同问题上去。
以下将列举这些不同的应用。
所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。
应用这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式，由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例，，如果看作把△ACD移置△ACB，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ′、Ⅱ′，那么依出入相补原理有：Ⅲ=Ⅲ′，□PC=□BO，……（指面积相等）由此得 PO×OS=RO×OQ，PQ×QC=RB×BC，……而 PO=AR，OS=QC，PQ=AB，RB=OQ，……因而AR：OQ=RO∶QC，AB∶OQ=BC∶QC，……就是相似勾股形ABO和OQC、ABC和OQC的相勾股成比例。并且可以导出其他相应部分的比例关系。
以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出，但是曾经多处用这些关系来解决各种具体问题。
在《周髀》中，就有用两表测日影以求日高的方法，计算的公式是：表高×表距日高影差其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先后两表，DH和FI是日影。《海岛》改测日高为测海岛的高，同图AB是海岛，H、I是人目望岛顶和两表上端相参合的地方，于是日高公式成为：表高×表距岛高表目距的差明末耶稣会传教士利玛窦（1552～1610）来我国，他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系。他曾口授《测量法义》一书，其中载有和海岛题完全类似的一题。在他所作的证明中，需要在FI上取一点M使（4）式成立，再用比例理论作证。按常理来说，利玛窦应该作平行线而取M′使FM′=DH，但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合，颇使人迷惑不解。
在《周髀》和《九章》中，都已经明确给出了勾股定理的一般形式：勾2 2 2 +股 =弦。虽然原证不传，但是据《勾股说》以及《刘注》，都依出入相补原理证明，并且有遗留到现在可以用来作证的赵爽残图，这几方面互相参照，原证应该大致如下：勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△ 2IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG=弦，由此就得到勾股定理。
欧几里得《几何原本》中勾股定理的证明，其中要先证有关三角形全等形以及三角形面积的一些定理，为此要作不少准备工作，因而在《几何原本》中直到卷一之末出现这一定理，而在整个《几何原本》中几乎没有用到。而在我国，勾股定理在《九章》中已经有多种多样的应用，成为2000来年数学发展的一个重要的出发点。
在东西方的古代几何体系中，勾股定理所占的地位是颇不相同的。勾、股、弦和它们之间的和差共九个数，只须知道其中的二个就可以求得其他几个。
除勾、股、弦互求就是开方之外，《九章》勾股章中有不少这方面的问题：第一，知股弦差、勾，求股、弦（五题）；第二，知勾股差、弦，求勾、股（一题）；第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一题）；第四，知股弦和、勾，求股、弦（一题）。
各题都列出了一般公式，《勾股说》的许多命题也属这一类，《刘注》还给出了证明，公式的来历和证明的方法都依据出入相补原理，有的也用比例作别证。
事实上，《周髀》中已经给出了若干具体数目的平方根，而在《九章》中，更详细说明了开平方的具体方法步骤。这一方法的根据是几何的，就是出入相补原理。
试以求55225的平方根为例。这相当于已知正方形ABCD的面积就是55225，求边AB的长，。按我国记数用十进位位值制。因AB显然是一个百位数，所以求AB的方法就是依次求出百位数字、十位数字和个位数字。先估计（《九章》中用“议”字）百位数字是2，因而在AB上截取AE=200，并且作正方形AEFG，它的边EF的两倍称为“定法”。把AEFG从ABCD中除去，所 2余曲尺形EBCDGF的面积是55225-200=15225。其次估计十位数字是3，在EB上截取EH=30，并且补成正方形AHIJ。从AEFG所增加的曲尺形EHIJGF可以 2分解成三部分： FH， FJ， FI，面积依次是30×EF，30×FG，30，其中EF=FG=200，所以从ABCD中除去AHIJ，所余曲尺形HBCDJI的面积是 2 15225-（2×30×200+30）=2325。
现在再估计个位数字是5，在HB上截取HK=5，并补作正方形AKLM，从ABCD中除去AKLM后所余曲尺形面积和前同法应该是 2 2325-（2×5×230+5）=0。
由此知K和B的平方根恰好是235。
求立方根的方法步骤和这相似，但是要把一立方体逐步进行分解，比平方根求法稍复杂，所依据的仍是出入相补原理，这在《九章》中也有详细叙述。
我国开平立方法来源很古，它的几何本质十分清晰，而且方法上可以看出我国独有而世界古代其他民族所无的位值制记数法的高度优越性。不仅这样，至迟到11世纪中叶，我国就已经把开平立方法推广到开任何高次幂，就是所谓“增乘开方法”，并且出现了有关的二项式定理系数表，就是所谓“开方作法本源图”。从这一方法的几何渊源看来，如果说当时我国数学家已经有高维方体和高维几何的稚影，似乎不是全无根据的。
下面的例取自《九章》，ABCD是一方城，出北门北行若干步到G有木，出南门南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望见木G，问题是求方城每边的长。据《刘注》的方法是依山入相补原理得 ET=2EG=2KG=2×北步×西步”为实，以“南步十北步”为从法，开平方除之，得EI，也就是方城边长。
不仅应用开平方法可得问题（A）的数值解，而且应用出入相补原理，还可以求得解答的精确表达式。如果以长方形的阔作为勾，长作为股，那么问题（A）相当于：（C）已知勾股积、勾股差，求勾、股。
大小两正方形的边长各是勾股和、勾股差，所以得 2 2勾股和 =4×勾股积+勾股差。
由此得勾股和，因而得勾和股。同样也可从勾股和、勾股积求得勾和股，这一方法可以参阅《勾股说》的末一命题。
宋元时期明确引入了未知数的概念。如果以x（当时称为天元一）表长 2方形阔，那么问题（A）相当于解一个二次方程x+ax=b，其中a相当于从法，b相当于实。所以在古代实质上已经给出了这一形式二次方程（a，b都是正数）的近似解和精确解，前者在宋元时期发展为求任意高次方程的数值解法，后者虽文献散佚不可查考，但是据唐初王孝通的著作以及史书关于祖冲之的引述看来，不能排除我国曾经对三次方程用几何方法求得精确表达的可能性。
在其他各国，公元九世纪的时候，阿拉伯数学家花刺子模（约780～约850）的代数学名著中列举了各种类型二次方程的精确解法，它的方法是几何的，它的精神实质和出入相补原理颇相类似。公元16世纪，意大利数学家关于三次方程的解法，也完全是几何的。
如果规定长方形的面积是长阔的积，那么依据出入相补原理，容易得到： 1（1）三角形面积=×高×底， 2由此可以完全奠定平面多角形的面积理论。但是在空间情形，如果规定长方体的体积是长、广、深的积，是否依据出入相补原理，可以推得 1（2）四面体体积=×高×底面面积， 3由此以建立多面体的体积理论，就不是那么明显而极其困难的问题。欧洲直到19世纪末，才把它作为一个难题明确地提了出来。公元1900年德国数学家希耳伯特（1862～1943）在国际数学会上所作著名讲演中，把体积理论列为23个问题之一。这一问题立即为德恩（1878～1852）所解决，答案是否定的：两个多面体要分割成彼此重合的若干多面体，必须满足某些条件，通称德恩条件。自此以后直到1965年，一位瑞士数学家西德勒才证明了德恩条件也是充分的。但是问题决不能认为已经彻底解决。从希耳伯特直到晚近，多面体体积理论仍不断成为一些知名数学家研讨的课题。德恩条件叙述复杂，也难认为是合宜的最后形式。
韦达定理
韦达生于法国西部普瓦图的丰特标勒贡特，曾经在法王亨利四世手下任职，还当过律师，数学原本只是他的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。
他在数学方面的主要贡献有，第一次用字母代替已知量，确定了符号代数的原理和方法，使当时的代数学系统化，并把代数学作为解析的方法使用，因此有“代数学之父”之称。
在几何学方面，他利用阿基米德的方法，通过多边形来计算圆周率π，在计算中，他使用了393216边形，得到π的近似值为 3.141592653……。精确到小点后面的第9位，是第一个超越祖冲之的人（祖冲之当时算到第六位）。
韦达不仅是一个数学家，而且还是一个破译密码的专家。他在法国政府任职时，曾经帮助法国政府破译了西班牙国王菲利浦二世使用的密码，对法国战胜西班牙起了重要作用，这样引起了西班牙国王的大怒，致使菲利蒲二世认为是法国人使用了什么“巫术”，因而还向罗马教皇指控法国“犯罪”。
青少年朋友们在初中学了一元二次方程
2
ax+bx+c=0（a≠0）
方程的根α，β和系数a、b、c的关系式是 b cα a a这就是我们熟悉的韦达定理。
但是这种说法不是很确切。请看下面几个定理的发表时间就清楚了。
定理1.一元二次方程
2
ax+px+q=0
两个根为α和β，则
α+β=-p，αβ=q
定理2.一元三次方程
3 2
x+px+qx+r=0
的三个正根是α、β、γ，则
α+β+γ=-p，αβ+βγ+αγ=q，αβγ=-r定理3.一元n次方程 n n-1 n-2n-3 x+ax+ax+x+…+ax+a=0的n个正根为x，x，x，…x，则 n-1 n 1 2 3 n x+x+x+…x=-a 1 2 3 n 1 xx+xx+xx+…xx+xx+…x x=a 12 13 14 23 24 n-1n 2 xxx+xxx+…+xxx+xxx+…+xx x=-a……。
123 124 234 235 n-2n-1n 3
n
xx…xn=（-1）a
12 n
定理4.（把定理2中的“正”字去掉就得到定理4）定理1的发表时间在历史上没有记载，然而定理2却是意大利数学家卡丹（1501～1576年）在1545年发表的，所以定理1应在此之前，而法国数学家的创作年代应在1550年之后，因此定理2也不应当是韦达的功劳。只有定理3才是韦达于1559年之后发表，但却有一个“正”字，直到1629年，那个“正”字才被荷兰数学家基拉德（1595～1632年）删掉，才使这个定理完整化，而这时韦达已离开人世20～30年之久了。
从这几个定理发表的时间来看，虽然定理1不是韦达发现，但对于这个定理他的贡献是很大的，所以用他的名字命名是有一定道理的。但为了慎重起见，因此我国中学教材已不再使用此名了，还是称作“根与系数的关系”。
罗巴切夫斯基几何
欧几里得几何（或称抛物几何）是我们大家所熟悉的，然而几何世界是广阔的，并非欧氏几何一枝独秀，还有着各式各样的非欧几里得几何，简称非欧几何。但通常意义下，非欧几何是指罗巴切夫斯基几何（或称双曲几何）和黎曼几何（或称椭圆几何）两种。
罗氏几何与欧氏几何有着明显的区别。在罗氏几何中，承认：过直线外一点有无穷多条直线和已知直线共面但不相交。共面而不相交的两条直线被第三条直线所截，同位角（或内错角）不一定相等；同一直线的共面的垂线和斜线不一定相交；三角形内角和小于180°：对应角相等的两个三角形全等（就是说，罗氏平面上不存在相似而不全等的三角形）；三个内角是直角的四边形，其第四个内角却小于直角（就是说罗氏平面上没有矩形）；通过不共线三点不一定能作出一个圆；三角形三条高线不一定相交于一点；等等。
那么对于只熟悉欧氏几何的人来说，这些都是不可思议的。
罗氏几何是以其创建者俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（1792～1856）的名字命名的，罗巴切夫斯基在证明欧几里得的平行公理时，力图由否定“同一直线的共面的垂线和斜线必相交”而引出矛盾。然而推论一个接一个，便形成了一个严密完善的系统而逻辑上并存在的任何矛盾。于是他相信建立起来的几何体系代表着一种新的几何学，称它为“虚几何”。1826年2月23日罗巴切夫斯基在喀山大学数学物理系宣讲了他的关于这种新几何的论文即《关于几何原理的概述》，随后他又陆续出版了许多著作来阐述自己的观点，直到逝世的前一年，眼睛几乎失明了，他还坚持通过口授写下了俄文和法文的《泛几何学》。由于罗氏几何的结论与我们的直觉并不一致，因而遭到同时代的绝大多数的数学家的非议，甚至讽刺、嘲笑。就连当时俄国最大的两位数学家也说这是荒唐至极。罗巴切夫斯基却毫不顾忌这一切，始终坚持他的发现，他不遗余力地丰富它，发展它和捍卫它！
然而最早发现罗氏几何的并非是罗巴切夫斯基，而是德国的高斯，他也是从证明欧氏平行公理中得来，最初他称这种几何为反欧几里得几何，后来又改称星空几何，最后称之为非欧几何。但由于害怕引起别人的反对和攻击，他没有发表过关于这种几何的任何见解。
发现罗氏几何的另外还有F·鲍耶的儿子，匈牙利军官亚·鲍耶，他根本不听从父亲的劝阻，在试证欧氏平行公理时，发现了这种几何。1823年11月23日给父亲的信中说：“我已经得到如此奇异的发现，连我自己也为之惊讶不止……，我已经从乌有创造了整个世界。”1832年他的关于新几何的著作以附录的形式发表在他父亲的一本书的后边，根据“附录”的拉丁文字，亚·鲍耶的工作在数学文献上获得“亚编的克斯”的称号。
高斯，鲍耶，罗巴切夫斯基他们各自独立的工作，因此说罗氏几何的问世当归功于他们三人，只是罗巴切夫斯基发表在先，所以命名罗巴切夫斯基几何，遗憾的是，他们三人在生前都没能亲眼看到罗氏几何被社会所公认。
罗氏几何直到1871年即罗巴切夫斯基死后15年才获得公认。
罗氏几何与欧氏几何之所以有如此大的差别，其根源在于罗氏平行公理是欧氏平行公理的反面命题，当我们把欧氏平行公理及等价命题，如过直一外一点恰有一条直线和已知直线共面不相交；共面不相交的二直线被第三直线所截，同位角（或内错角）相等；一直线的共面的垂线和斜线必相交；过不共线三点恒有一圆；三角形三高线交于一点；任何三角形内角和等于180°；等等。
的反面命题写出来，是否可找到前面出现的那些离奇的罗氏几何定理的踪影了。
其实，罗氏几何中也不尽是离奇的结论，由于罗氏几何的公理中除平行公理外都和欧氏公理相同，因此凡是涉及平行公理的定理都是共有的，如：对顶角相等，三角形全等的判定，外角定理以及三角形中边、角的不等关系等。两者的公共部分被称做绝对几何。就是说：绝对几何的公理加上欧氏平行公理组成了欧氏几何的公理系统，演绎推理构成欧氏几何；绝对几何加上罗氏平行公理构成罗氏几何公理系统，演绎推理就形成了罗氏几何。从公理法的角度看问题，两种几何之间的关联、同异是这样简单的清晰。
孕育了罗氏几何的是由于“平行公理试证”，这是几何学发展史上的一件大事。公元前6世纪几何学在古希腊得到了很大的发展，成为至高无上的学科，人人争学几何，数学家柏拉图就在他创建的学院门前高悬“不懂几何学的人莫入”大字条幅。公元前3世纪，欧几里得《几何原本》成功地反映了证明几何，完美地实践了当时的公理化思想。它的问世，人们如获至宝，然而，人们为了证明它的平行公理，以为可以由其他公理推证出来，即认为它不是公理而只是个定理，掀起了证明平行公理的热潮，从而导致了罗氏几何的诞生，罗氏几何被公认即定论了欧氏平行公理是独立的，不能由其他的公理推证出来。
罗氏几何的诞生，不只是为几何学增添了一个新的分支，它是一次数学思想的重大飞跃，使几何学从古典阶段进入了现代化阶段。欧几里得《几何原本》是古典几何的代表，是建立在对现实世界的感知之上的，这反映了现实空间形式。因此，古典几何又叫实证或实体几何。
罗氏几何却离开了感知，改变了几何学对直觉真实性的追求，尝试了思维的创造、人为地构造几何空间。人们开始了在几何领域里充分地施展自己的聪明才智，创造精神，接踵而来的是黎曼几何，仿射几何，射影几何等等，极大地发展了几何学。
等分圆周
人们在研究规尺作图三大难题中，还发现了许多类似的难题。求等圆周的线段的问题，就是一个与化圆为方密切相关的难题。此外，流传很广的是等分圆周问题，它是和三等分角相仿的难题。这个问题又叫做按规尺作图，作圆内接正多边形问题，或者叫做正多边形作图问题。
古希腊人按规尺作图法，作出了正三角形、正方形、正五边形、正六边 n形，以及边数为它们2倍（n为正整数）的正多边形。他们还想继续作出其他的正多边形，可是正七边形就作不出来。于是，什么样的正多边形能作得出来，就成了一个作图难题。因为这个问题与三等分角问题的性质相同，关系密切，所以人们常常把它们放在一块研究。类似的，还有许多作图难题也不断地涌现出来，比如五等分、七等分任意角问题。
在漫长的年代里，难以数计的人参加了研究这些问题的行列，可是谁也提不出解决的办法。慢慢地，人们开始产生了这样一个问题：有些作图难题之所以难，是不是按规尺作图方法，本来就办不到，而不是有可能办到，只不过人们还没有找到这样的方法呢？这个想法，不是哪一个聪明人的头脑里一开始就有的。它是在一代人接一代人，延续研究了2000多年，总是找不到解决的方法之后，有些人才生了“异心”！
他们想：圆规和直尺不过是一种工具，世界上本来就没有什么事情就能干的万能工具。特别是规尺作图法，实际上是对规尺的使用作了种种禁令，限制它们的作用，所以有些图可以作出来，有些就可能作不出来。
数学是一门非常精确的科学。数学问题是不能根据想象或者看法就能作出结论的，它必须有严格的证明。假设有些图形是规尺作图法不能作出来的，那么，标准是什么？界限在哪里？也就成为一个难题了。
这些难题，直到解析几何出现以后，人们学会了应用代数的方法来研究几何问题，才找到了解决的途径。
用代数方法研究几何图形
数学和其他科学的发展一样，不少长期解决不了的问题，一旦出现了新的认识，或者把它们放到更大的范围去观察，常常很快就找到了解决问题的途径和方法。解析几何的出现，是规尺作图三大难题走向解决的转析点。
解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿创立的。笛卡儿和2000年前的柏拉图一样，都是哲学家兼数学家，他们都形成了各自的学派，有的数学史说：柏拉图主义者相信权威，笛卡儿学派相信理性，但是他们同样认为数学是科学之王。
1637年，笛卡儿发表了他的名著《几何学》。这本书起初是作为他的哲学著作《方法论》一书的附录出版的，书中引入了变数，创始了解析几何。
在初等数学中，基本的情况是几何是几何，代数是代数。人们研究和处理几何和代数问题，就方法而言是不同的。比方说，在平面几何中，要考查三点是否共线，或者四点是否共圆，虽然有时也利用某些代数知识，但是一般不讨论直线或者圆的方程，以及它们的解。
解析几何是用代数方法来研究几何图形，通过建立坐标系，在几何与代数之间搭起了一座桥梁。有了这座桥梁，人们就可以把几何问题先“翻译”成代数题目，例如写出它们的方程，用代数的方法加以解决；之后，再把得到的结果，“翻译”成几何的答案。这样，就不只增加了解决几何问题的思路和方法；而且可以把许多几何问题的性质搞得更为清楚，使这些几何题化难为易了。
解析几何大大帮助了人们对规尺作图问题的认识和判断。在这方面，最先突破的是高斯。
1795年，高斯来到德国著名的哥庭根大学学习。入学不久，他就按规尺作图法，作出了正十七边形。不久，他又提出理论，证明了按规尺作图方法，根本就作不出正七边形、正九边形、正十一边形和正十四边形等等。所有这些问题，都是延续了2000多年没有得到解决的难题，被年轻的高斯解决了。
特别是关于规尺作图法的不可能问题，是一项惊人的成就。他从思想方法上，促进了规尺作图三大难题的研究和解决。
数学难题的解决，往往要涉及较多的数学知识。要了解高斯的这一成果，先得了解一下费尔马数。
费尔马是一个很有成就的数学家，提出过很多著名的定理。他还与笛卡儿同时奠定了解析几何的基础；与巴斯嘉一起开创了概率论的研究工作；在光学中提出了费尔马极小时间原理；在数学中提出过无限下推法。不过，费尔马的不朽贡献，主要是在数论方面。
在费尔马一生的大量成就中，也包含着两项影响较大的不确切的工作；一项是他的一个猜想，被证明是错误的；另一项就是前面谈到的近代三大数学难题之一的费尔马大定理，在他宣称被他证明了的300年之后，人们还没有找到证明的方法，于是很多人便对他宣称有过的证明明表示了怀疑。这里先介绍前一个猜想。
2n
费尔马研究了形如2+1的数，共中n是非负整数。他令n分别等于0， 2n1，2，3，4，得到相应的2+1如下表： n 0 1 2 3 4 2n 1 2 4 8 16 2+1 2+1=3 2+1=52+1=172+1=2572+1=65537 2n在这个表中，所有形如2+1的数：3，5，17，257，65537都是素数。
2n
于是，费尔马发表猜相：形如2+1的数，当n为非负整数时，都是素数。
2n
后来，在数论中，把这样的数都称为费尔马数，记作Fn，即Fn=2+1，n为非负整数。
但是，费尔马死了67年之后的1732年，25岁的数学家欧拉，证明了F 5不是素数： 5n 32 F=2+1=2+1 5 =4294967297 =641×6700417这样一来，就把费尔马的猜想给否定了。在欧拉那个时候，人们要判断F是不是素数，还是相当困难的，因为事先并不知道要判断641是不是它的 5因数。
后来，人们分别证明了n等于6到16的费尔马数，都不是素数；n等于17时是不是素数，到现在还是一个难题。n等于18以后，也分别找出了三四十个不是素数的费尔马数。
总之，除了原来已经知道的n等于0到4的这五个费尔马数是素数外，新的费尔马数是素数的，一个也没有找着。
这样，有一种相反的猜想已经提出来了：只有有限个费尔马数是素数。
这也是一个难题。
高斯按规尺作图法作出了正十七边形后，紧接着就证明了一个关于规尺作图的重大定理：如果一个奇素数P是费尔马数，那么，正P边形就可以用规尺作图法作出，否则就作不出来。
根据这个定理，F=3，F=5，F=17，所以正三角形、正五边形、正十七 0 1 2边形都能作出，而7，11，13等素数都不是费尔马数，所以正七边形、正十一边形、正十三边形等都不能作出。
对应于F的正257边形，是德国的黎克洛于1832年，用规尺作图法作 3出来的；对应F的正65537边形，经德国的赫尔姆斯十年的研究，才按规尺 4作图方法作出来。黎克洛的作法，占了一本数学杂志的80页；而赫尔姆斯的手搞，装了整整一个手提箱，现在还保存在哥庭根大学。
高斯在数学的许多领域中，都作出了杰出的贡献，被称为“数学之王”。
他一生工作严谨，生活简朴，坚持每天读报，喜爱文学和研究过多种外语，并且在物理学、天文学、测绘学方面，都作出了重要贡献。
高斯死后，按照他的遗愿，人们在他的墓碑上刻上一个正十七边形（也有的书上说是墓碑的底座是正十七边形），以纪念他少年时代杰出的数学发现。
高斯的墓碑，也是解决规尺作图难题，在2000多年间的一块里程碑。
正多边形的作图问题，其实就是等分圆周的问题，它与三等分角问题有不少相似的地方。有了解析几何，有了高斯等数学家的经验，人们对规尺作图可能作出的与不可能作出的图形，逐渐有了深入的认识。其中，下面两个结论是很重要的： 1.在规定某一线段的长度是单位长度 1后，如果我们要作的线段的长度，可以由单位长度 1，经过有限次的加、减、乘、除、开平方（指正数开平方，并且取正值）后得出来，那么，这一线段就能用规尺作图法作出； 2.圆规直尺作图法所能作出的线段或者点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方所能作出的线段或者点。
举一个例子，要考查圆内接正五边形是否可以作出，我们取圆的半径为 101，计算得圆的内接正五边形的一边长为，这合乎第一条，所以规 2尺作图法作圆内接正五边形是可能的。
3
再举一个例子，取一个线段的长为1，问求作长为 9 3能吗？
这里要开三次方，根据第二条规定，规尺作图法只能作出经有限次加、减、乘、除及开平方的线段，看来这条线段作不出。
错了！因为
3 9 3
3
根据第一条，这条线段能作出。你如果有兴趣，不妨一试，把这一线段作出来。
这两个例子说明，要证明一条线段能作出要容易些，要证明一条线段不能作出却困难得多。
但是，标准有了，三大作图难题的解决就提上日程了。
1837年，23岁的马彻尔提出了立方倍积与三等分任意角，不可能用规尺作图法解决的证明，宣布了2000多年来，人类征服初等几何三大难题夺得了重大的胜利。
我们知道，虽然有些角（例如直角）查以用规尺作图法三等分，但是有些角不可以（例如30°角），所以要按规尺作图法三等分任意给定的角，就不可能了。
事实上，在1830年，19岁的法国数学家伽罗华，就提出了解决这一类问题的系统理论和方法，所以现在的专门著作，一般着重讲伽罗华理论，而把规尺作图三大难题以及等分圆周等问题的解决，当成这种理论的推论、例题或者习题。因此，后来对万彻尔的工作，并不十分注意。
五次方程的挑战
初中的主要数学课程是几何与代数。“代数”一词，是九世纪时亚细亚的数学家阿里·花拉子模首先使用的。英文的“Algebra”一词，是从阿里·花拉子模那里来的。我国从1711年清朝康熙五十年起，先后音译作“阿尔朱巴尔”、“阿尔热巴拉”、“阿尔热八达”等。1859年清朝咸丰九年，李善兰与伟烈亚力合译的《代数学》，是我国意译“Algebra”为“代数”的开始。
前面已经说过，解析几何的出现，使人们可以通过解代数方程来解答几何问题。因此，规尺作图三大难题的解决，同代数方程的解挂上了钩。
公元三世纪的希腊数学家丢番都和九世纪的阿里·花拉子模，都求得二 2次方程ax+bx+c=0的解为 x 2a但是，很多数学史的书上只说阿里·花拉子模是世界上最先求得二次方程一般解的人，原因是丢番都当时认为只有根式下的数是一个完全平方时，方程才能算有解，并且丢番都只承认正根。
到了16世纪，意大利数学家卡尔丹和他的学生费尔拉利，相继发表了用根式求解三次方程与四次方程的方法。卡尔丹在发表三次方程的公式证明时曾声明，公式是威尼斯的塔尔塔利亚告诉他的。这个公式实际上是公元1500年左右波仑亚的数学教授非尔洛最先研究，几经转折，为塔尔利亚完全掌握，在卡尔丹保证保密后告诉了卡尔丹的，但六年后，卡尔丹给出证明发表了。
数学界称这个公式为卡尔丹公式。
由于无论是二次方程、三次方程还是四次方程，都能通过根式求它的一般解，于是很多数学家，争相研究和寻找根式求解五次方程的公式。经历16世纪的后半叶、17世纪、18世纪，直到19世纪初，很多数学家和数学爱好者，都把它作为检验自己才能的试金石，可是毫无例外，他们都失败了。
根式解法虽然没有找到，可是人们却积累了很多的经验和知识，特别值得一提的，是法国数学家拉格朗日。他在高次方程根的排列等方面作了很多的工作，而且提出这是整个问题的关键。他还指出用根号解五次以上的方程，是不可能解决的问题之一。可是，他对不可能没有给出什么证明，他就这个问题的困难性说：“它好像是在向人类的智慧挑战。”
人类的智慧终于夺得了胜利。
在拉格朗日去世后11年的1824年，挪威22岁的数学家阿贝尔，证明了一般五次以上的代数方程，它们的根式解法是不存在的。这就是说，除了某些特殊的五次以上的方程，可以用根式解外，许多五次以上的方程，把它的系数看成字母，无论由这些字母组成什么样的千奇万状的根式，都不可能是这个方程的根。延续300年的难题解决了。阿贝尔的成果轰动了世界！
阿贝尔一方面证明了有的方程不能用根式解；另一方面也可以举例证明，有的方程能用根式解。于是，能用根式解或者不能用根式解的方程，到底用什么来判断呢？阿贝尔没有来得及解决这一问题。因为他少年时期备受贫困折磨。身体十分虚弱，在27岁上，就害痨病死了。
科学的接力棒总是要继续往下传的。法国数学家伽罗华在阿贝尔去世后的第二年，完成了这一项艰巨的工作。可惜他的生命更加短促，只活了 21岁。
抽象代数学的诞生
伽罗华于1811年10月26日，出生在法国巴黎附近的一个小市镇上。他从16岁起，就致力于五次以上方程的根式解法的研究。
伽罗华不仅对前辈数学家拉格朗日等的工作，有深入的学习和了解；而且对同时代的数学家阿贝尔等的成果，也有研究和认识。他是在前人的基础上，走上一条崭新的道路的。
1828年，17岁的中学生伽罗华认为自己得到了重大的成果。他写出论文，把它送交有很多当代第一流数学家的法兰西科学院，要求审查。
那年6月1日，在法兰西科学院的例会上，曾决定由当时的大数学家柯西与波阿松，审查这位中学生的论文。但是，那位法国和世界最有名望的大数学家之一的柯西，根本不重视这件事，他把伽罗华的论文给弄丢了。
伽罗华还在继续研究。1829年，他又写了一些重要论文，于1830年第二次把论文提交法国科学院审查。这一回，科学院决定由著名的数学家富里埃审查。可是62岁的富里埃，就在那年离开了人世。人们不但不知道富里埃的审查意见，而且在他的遗物中，没有找到伽罗华的论文，显然是又弄丢了。
伽罗华曾对此提出了意见。
幸好，第一次应该和柯西一道负责审查伽罗华论文的那位科学院院士波阿松，注意到了伽罗华的稿件一再被丢失的情况，劝他重写一份。1831年，伽罗华把重写的论文，第三次交给法国科学院。
热心的波阿松，亲自审查了这份多灾多难的论文。他审查了四个月，可是看不懂。波阿松只好在他签署的审查意见上，说自己“完全不能理解”。
当代杰出的数学家波阿松都说他不能理解，怎么办呢？看来，伽罗华应该把自己的论文写得通俗一些，详细一些。
但是，伽罗华不可能有更多的时间和精力来充分阐述自己的观点了。因为他是一个忧国忧民的青年，正在参加当时法国如火如荼的政治斗争。
当时法国的形势是这样的：1830年六七月间，国王查理一世因为违反和破坏了宪法，被愤怒的巴黎群众赶走了。可是前门驱狼，后门进虎，“波旁王朝”被推翻，奥尔良公爵路易——菲力浦，却趁机当上了国王，建立了“七月王朝”。这时伽罗华正在投考大学。
和高斯的情况正好相反。伽罗华在世的时候，很少有人认为他是“天才”或者“神童”什么的。后来，人们谈起伽罗华来，有的老师说：“他没有智慧，不然就是他把他的智慧隐藏得太好了，使我简直没法子去发现它。”有的老师干脆说：“他什么也不懂。”
当时，巴黎最著名的大学是工科大学和高等师范学校。伽罗华很想读工科大学，但是两次都没考上。在第二次考工科大学时，他也考了高等师范学校，幸好考取了。1830年，19岁的枷罗华，进入高等师范学校学习。就在这年的7月，路易—菲力浦篡权上台。
生气勃勃的伽罗华，是个激进的共和主义者，他和他的战友向篡夺政权的路易——菲力浦王朝，展开了激烈的斗争。
这年12月，入学不久的伽罗华被学校开除了。
被开除后，伽罗华以为人补习数学为业，但他的革命斗志更旺。1831年六月，他被捕了，罪名是企图暗杀国王。由于警方拿不出证据，只好释放了他。但是紧接着在七月间，伽罗华第二次被捕，并且被投入监狱，一直关到了1832年春天，因为监狱里流行传染病，才把他释放出狱。
半年多的监狱生活，使这个21岁的青年身心受到了严重的摧残。他的姐姐回忆说，那时伽罗华面色憔悴，两眼发呆，活像一个50岁的老头。
出狱后一个月，反动派设下圈套，让伽罗华与路易—菲力浦王朝的一个反动军官决斗，被击中致命处，第二天——1832年5月31日早晨，不满21岁的伽罗华离开了人世。
伽罗华短促的一生，像一闪而过的明星，照亮了近世代数学前进的道路！
在决斗前夕，伽罗华把他的研究工作写成扼要的信件，托朋友转交《百科评论》杂志发表。这封信在他逝世之后4个月发表了，但是没有引起人们的重视。
伽罗华在他仓促写成的信中，希望他的朋友把他的研究成果交给当代的大数学家，信末有这样的话：“你可以公开请求雅可比或者高斯不是对于这些定理的真实性，而是对于其重要性表示意见。在这以后，我希望有一些人将会发现，把这堆东西注释出来对他们是有益的。”据后来的调查，这些资料在当时并没有交给这两位数学家。
在伽罗华逝世后14年的1846年，法国数学家柳维勒，从伽罗华的弟弟那里得到了一些伽罗华的手搞，并且把它发表在自己创办和编辑的数学杂志上。从此，伽罗华的思想才逐渐引起人们注意和理解。以后，人们又从伽罗华的姐姐、弟弟那里，搜集到他遗留下来的全部手稿。这不到80页的手稿，是伽罗华给人类留下的十分宝贵的财富。数学家在这个基础上，开始注释、追踪、研究和发展伽罗华所开创的工作。
到19世纪晚期，伽罗华所开创的数学工作，逐渐形成了数学的一个重要的分支——近世代数学，又叫做抽象代数学。因为它已经成为了近代代数学的主要内容，所以也有人干脆就叫它代数学的。它的主要内容，包括群论、环论、域论、布尔代数，以及共他代数系统的重要理论。这些理论，是近世代数学的伟大成就，并且在科学技术中有广泛的应用。
伽罗华是群论的奠基人。以伽罗华的名字命名的伽罗华理论，使得五次以上的代数方程，不可能有一般的根式解，初等几何作图三大难题，以及高斯关于正多边形作图的定理等等，都不过是一些明显的推论或者简单的例题、习题了。
今天，大学生在学了伽罗华理论后，稍带就证明了三等分角、立方倍积与化圆为方，是规尺作图的不可能问题。
在规尺作图三大难题中，化圆为方问题是最后得到解决的。
根据伽罗华理论，如果π是超越数，那么，化圆为方是规尺作图的不可能问题。可是，数学家拖了很长的时间，才证明了π是超越数，这就相应地推迟了化圆为方问题的解决。
什么是超越数？这个概念，首先是由著名数学家欧拉提出来的。比如圆周率π是我们很熟悉的。我国南北朝时的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926与3.1415927之间。π的值这样算下去，它是有尽小数呢？还是无穷小数？如果是无穷小数，那么，是不是循环小数呢？如果能证明π是不循环的无尽小数，那就是无理数了。
无理数有不同的情况。像 2是x2 - 2 = 0的根， 7代数方程。的实数，叫做代数数；凡不是代数数的实数，都叫做超越数。
由此可见，超越数必然都是无理数；但是一个无理数是不是超越数，那就需要证明了。人们发现，要证明π是一个无理数并不太困难，要证明π是一个超越数，却是一个很难的题目。
直到1882年德国数学家林德曼才证明了π是超越数，使方圆问题是规尺作图的不可能问题，得到证明。
到此，初等几何三大难题全部彻底解决。
这三大难题，从传说中的第罗斯岛人改造祭坛的年代起，到 19世纪末叶，前后经历了2000多年。在全世界的几十代人的努力中，不知有多少人为它绞尽脑汁，熬尽心血，吃尽苦头，耗尽精力，才夺得最后的解决。
这真是得来不易的胜利啊！
中世纪最有才华的数学家斐波那契（1175年～1259年）出生在意大利比萨市的一个商人家庭。因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学。成年以后，他继承父业从事商业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里岛。
斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究。他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因此有利于推动欧洲大数学的发展。他在其他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料。
回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》（1202年，或叫《算盘书》）。《算经》的出版，使他成为一个闻名欧洲的数学家。继《算经》之后，他又完成了《几何实习》（1220年）和《四艺经》（1225年）两部著作。
《算经》在当时的影响是相当巨大的。这是一部由阿拉伯文和希腊文的材料编译成拉丁文的数学著作，当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，在两个多世纪中一直被奉为经典著作。
在当时的欧洲，虽然多少知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅仅局限在修道院内，一般的人还只是用罗马数学记数法而尽量避免用“零”。斐波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，这部著作在欧洲大陆产生了极大的影响，并且改变了当时数学的面貌。他在这本书的序言中写道：“我把自己的一些方法和欧几里得几何学中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是决定写现在这本15章的书，使拉丁族人对这些东西不会那么生疏。
在斐波那契的《算经》中，记载着大量的代数问题及其解答，对于各种解法都进行了严格的证明。下面是书中记载的一个有趣的问题：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？
现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。
第1个月到第6个月兔子的对数是：
1，2，3，5，8，13。
我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。
显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内1对兔子能繁殖成233对。
在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。
这个数列可以由下面递推关系来确定：
a = a = 1
另外，我们还可以利用等比数列的性质，推导出斐波那契数列的一个外观比较漂亮的通项公式： 1 1 an 5 2 2读者可以用数学归纳法去加以证明。
在美国《科学美国人》杂志上曾刊登过一则有趣的故事：世界著名的魔术家兰迪先生有一块长和宽都是13分米的地毯，他想把它改成8分米宽、21分米长的地毯。
他拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔，并对他说：“我的朋友，我想请您把这块地毯分成四块，然后再把它们缝在一起，成为一块8分米×21分米的地毯。”奥马尔听了以后说道：“很遗憾，兰迪先生。您是一位伟大的魔术家，但您的算术怎么这样差呢！13×13=169，而8×21=168，这怎么办得到呢？”兰迪说：“亲爱的奥马尔，伟大的兰迪是从来不会错的，请您把这块地毯裁成这样的四块。”
然而奥马尔照他所说的裁成四块后。兰迪先生便把这四块重新摆好，再让奥马尔把它们缝在一起，这样就得到了一块8分米×21分米的地毯。
奥马尔始终想不通：“这怎么可能呢？地毯面积由169平方分米缩小到168平方分米，那一平方米到哪里去了呢？”
将四个小块拼成长方形时，在对角线中段附近发现了微小的重叠。正是沿着对角线的这点叠合，而导致了丢失一个单位的面积。读者不妨自己用纸试一下。
2
涉及到四个长度数5，8，13，21都是斐波那契数，并且13=8×21+1， 28=5×13-1。多做几次上述的试验，就可以发现斐波那契数列的一个有趣而重要的性质： 2 a=a·a±1（n≥2） n n-1 n+1除此之外，斐波那契数列还有一些有趣的性质，例如： 2 2 2m n -a=a·a m+n m-n 2n 0 n若用[i]表示不大于i的最大非负整数，i为非负实数。C=1，而C =0， n n-j其中j、n为非负整数。则斐波那契数列的前n项和S为： n n ( ) 2 S n n j有兴趣的话，读者可以证明一下，或者参阅有关的书籍。
斐波那契数列在实际生活中有非常广泛而有趣的应用。除了动物繁殖外，植物的生长也与斐波那契数有关。数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，第3年就有3枝，然后是5枝、8枝、13枝等等，每年的分枝数正好是斐波那契数。
生物学中所谓的“鲁德维格定律”，也就是斐波那契数列在植物学中的应用。
从古希腊直到现在都认为在造型艺术中有美学价值，在现代优选法中有重要应用的“黄金率”，实际和斐波那契数列密切相关。
a 5实际上，黄金率= Lim n n n+1
优选法中的分数法：
1.所有可能试验个数恰好是a-1个
n
a这时将前两个试验点放在试验范围的 n和 n位置上，也就是 a a n n选在第a-1点和第a-2点上作试验。比较这两个试验结果；如果第a-1点 n n n好，就划去第a-2点以下的试验范围；如果第a-2点好。就划去第a-1点 n n n以上的试验范围。在留下的试验范围中，还剩下a -1个试验点，另一个是 n-1下一步要作的新试验点。两点比较后，和前面作法一样，由坏点将试验范围切开，短的一段不要，留下包含好点的长的一段。这时新的试验范围只有a -1个试验点了。由此类推，直到试验结束为止。
n-2
显然，用分数安排上述试验，在a-1个可能的试验中，最多只须作n-1 n个试验就能找到它们中的最好的点。
2.所有可能的试验个数大于某一个a，而小于a -1 n-1 n+1此时，只须在试验范围内虚设几个试验点，凑成a -1个试验。于是， n+1这类问题也就归结为第1种情况，就可按照上述方法去处理了。
谈谈π和e
公元前550年，希腊数学家毕达哥拉斯发现毕氏定理（即我国发现的勾股定理），他当时非常高兴，曾杀猪宰牛，广宴宾客，以示庆贺。在应用勾股定理求直角三角形的某一边时，就要把一个数开平方，这时可能开得尽，也可能开不尽，若开不尽便出现了无理数。
无理数分为根数和超越数两种，其中π和e是两个重要的超越数。如果一个数是某个有理系数的多项式的根，这个数叫做代数数，否则就叫做超越数。
首先说π。
π，在国外又叫鲁道夫数，在我国却叫祖率、环率、圆率等。
最先得出π～3.14的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出π小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之（约480年），1610年荷兰籍德数学家 62鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值，通过 2边形计算π到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算π值到39位小数，这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。
以上都是古典方法计算π值。
3 3 3
x x x
在1706年，钉麦金利格列格里的级数arctgx = x - 3 5 7（|x|≤1）和下面的关系： 4 5 8 1884年，德国人Z·达什利用格列格里的 4 2 5 8计算出π的准确的200位数字。
值得提出的是，达什1824年生于汉堡，只活了短短的37年，便离开了人世，他是一个闪电般的计算者，是一位最了不起的人工计算者，他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法，在6分种内完成了两个20位数的乘法，在40分钟内完成了两个40位数的乘法；他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根。达什的这种非凡的计算才能在他制作7位对数表和从7000000到10000000之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用。
1873年，英国人威廉·桑克斯利用麦新的公式计算π到70位。
1961年，美国的雷思奇和D·桑克斯用电子计算机得出π值的100000位数字。
1706年，英国的威廉·姆士首先使用π这个符号，用来表示圆周和直径的比值，但只是在欧拉于1737年采用了这方法以后，π才在这种情况下得到了普遍的应用。
π在科学中的应用是极为广泛的，但有时它的出现也会是意想不到的。
例如，1777年，法国数学家毕封做过一个“小针实验”：先在桌上铺一张等距为平行横线的纸，再准备很多长为2cm的小针，然后将针随便地掷在纸上，掷完后，再将投掷次数除以针与平行线交叉的次数，却惊奇地发现：其所得值竟接近π！π，竟在一个与圆“无关”的问题中奇迹般地出现了。
我们再来说e。
在中学数学书中这样提出：以e为底的对数叫做自然对数。那么e到底有什么实际意义呢？
1727年，欧拉最先用e作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确定用e作为自然对数的底来纪念他。有趣的是，e正好是欧拉名字第一个小写字母，是有意的还是偶然巧合？现已无法考证！
e在自然科学中的应用并不亚于π值。像原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或考察地球年龄时便要用到e。
在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时也会用到e，在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时，也要用到e。
像电容器的充放电过程，也是按以e为底的指数规律变化的，以电容器放电为例，电容器的电压变化是随时间t作指数衰减的，即 t V c 0同π一样，e也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问题便要同e打交道。
答案是：使等分的各份尽可能接近e值。如，把10分成10÷e=3.7份，但 43.7份不好分，所以分成4份，每份为10÷4=2.5，这时2.5=39乘积最大，如分成3或5份，乘积都小于39。e就是这样神奇的。
1792年，15岁的高斯发现了素数定理：“从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这个规律越准确。”
这个定理到 1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。以e为底还有很多优越性。如以e为底编制对数表最好；微积分公式也具有最简的形式。
有趣的是，π和e虽不能用有限的式子表示出来，但却可用无穷级数表示： 1 1 e 2 ! 3! 1 1 1 1 1 3 5 7要补充说明的是：1882年德国数学家林德曼首先证明了π是超越数，从而完全否定了“化圆为方”作图的可能性。1844年，法国数学家刘维尔最先推测e是超越数，一直到了1873年才由法国数学家爱米特证明e是超越数。
这样人们逐步认识了有理数、无理数、代数数、超越数，建立了一个完整的实数系统。它的意义是十分巨大的。
出入相补原理
我国古代几何学不仅有悠久的历史，丰富的内容，重大的成就，而且有一个具有我国自己的独特风格的体系，和西方的欧几里得体系不同。这一几何体系的全貌还有待于发掘清理，本文仅就出入相补原理这一局部方面，就所知提出几点，主要根据是流传至今的以下各经典著作：《周髀算经》（简称《周髀》），《九章算术》（简称《九章》），刘徽《九章算术注》（简称《刘注》），《海岛算经》（简称《海岛》），赵爽《日高图说》和《勾股圆方图说》（简称《日高说》和《勾股说》）。
田亩丈量和天文观测是我国几何学的主要起源，这和外国没有什么不同，二者导出面积问题和勾股测量问题。稍后的计算容积、土建工程又导出体积问题。
我国古代几何学的特色之一是，依据这些方面的经验成果，总结提高成一个简单明白、看起来似乎极不足道的一般原理——出入相补原理，并且把它应用到形形色色多种多样的不同问题上去。
以下将列举这些不同的应用。
所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。
应用这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式，由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例，，如果看作把△ACD移置△ACB，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ′、Ⅱ′，那么依出入相补原理有：Ⅲ=Ⅲ′，□PC=□BO，……（指面积相等）由此得 PO×OS=RO×OQ，PQ×QC=RB×BC，……而 PO=AR，OS=QC，PQ=AB，RB=OQ，……因而AR：OQ=RO∶QC，AB∶OQ=BC∶QC，……就是相似勾股形ABO和OQC、ABC和OQC的相勾股成比例。并且可以导出其他相应部分的比例关系。
以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出，但是曾经多处用这些关系来解决各种具体问题。
在《周髀》中，就有用两表测日影以求日高的方法，计算的公式是：表高×表距日高影差其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先后两表，DH和FI是日影。《海岛》改测日高为测海岛的高，同图AB是海岛，H、I是人目望岛顶和两表上端相参合的地方，于是日高公式成为：表高×表距岛高表目距的差明末耶稣会传教士利玛窦（1552～1610）来我国，他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系。他曾口授《测量法义》一书，其中载有和海岛题完全类似的一题。在他所作的证明中，需要在FI上取一点M使（4）式成立，再用比例理论作证。按常理来说，利玛窦应该作平行线而取M′使FM′=DH，但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合，颇使人迷惑不解。
在《周髀》和《九章》中，都已经明确给出了勾股定理的一般形式：勾2 2 2 +股 =弦。虽然原证不传，但是据《勾股说》以及《刘注》，都依出入相补原理证明，并且有遗留到现在可以用来作证的赵爽残图，这几方面互相参照，原证应该大致如下：勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△ 2IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG=弦，由此就得到勾股定理。
欧几里得《几何原本》中勾股定理的证明，其中要先证有关三角形全等形以及三角形面积的一些定理，为此要作不少准备工作，因而在《几何原本》中直到卷一之末出现这一定理，而在整个《几何原本》中几乎没有用到。而在我国，勾股定理在《九章》中已经有多种多样的应用，成为2000来年数学发展的一个重要的出发点。
在东西方的古代几何体系中，勾股定理所占的地位是颇不相同的。勾、股、弦和它们之间的和差共九个数，只须知道其中的二个就可以求得其他几个。
除勾、股、弦互求就是开方之外，《九章》勾股章中有不少这方面的问题：第一，知股弦差、勾，求股、弦（五题）；第二，知勾股差、弦，求勾、股（一题）；第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一题）；第四，知股弦和、勾，求股、弦（一题）。
各题都列出了一般公式，《勾股说》的许多命题也属这一类，《刘注》还给出了证明，公式的来历和证明的方法都依据出入相补原理，有的也用比例作别证。
事实上，《周髀》中已经给出了若干具体数目的平方根，而在《九章》中，更详细说明了开平方的具体方法步骤。这一方法的根据是几何的，就是出入相补原理。
试以求55225的平方根为例。这相当于已知正方形ABCD的面积就是55225，求边AB的长，。按我国记数用十进位位值制。因AB显然是一个百位数，所以求AB的方法就是依次求出百位数字、十位数字和个位数字。先估计（《九章》中用“议”字）百位数字是2，因而在AB上截取AE=200，并且作正方形AEFG，它的边EF的两倍称为“定法”。把AEFG从ABCD中除去，所 2余曲尺形EBCDGF的面积是55225-200=15225。其次估计十位数字是3，在EB上截取EH=30，并且补成正方形AHIJ。从AEFG所增加的曲尺形EHIJGF可以 2分解成三部分： FH， FJ， FI，面积依次是30×EF，30×FG，30，其中EF=FG=200，所以从ABCD中除去AHIJ，所余曲尺形HBCDJI的面积是 2 15225-（2×30×200+30）=2325。
现在再估计个位数字是5，在HB上截取HK=5，并补作正方形AKLM，从ABCD中除去AKLM后所余曲尺形面积和前同法应该是 2 2325-（2×5×230+5）=0。
由此知K和B的平方根恰好是235。
求立方根的方法步骤和这相似，但是要把一立方体逐步进行分解，比平方根求法稍复杂，所依据的仍是出入相补原理，这在《九章》中也有详细叙述。
我国开平立方法来源很古，它的几何本质十分清晰，而且方法上可以看出我国独有而世界古代其他民族所无的位值制记数法的高度优越性。不仅这样，至迟到11世纪中叶，我国就已经把开平立方法推广到开任何高次幂，就是所谓“增乘开方法”，并且出现了有关的二项式定理系数表，就是所谓“开方作法本源图”。从这一方法的几何渊源看来，如果说当时我国数学家已经有高维方体和高维几何的稚影，似乎不是全无根据的。
下面的例取自《九章》，ABCD是一方城，出北门北行若干步到G有木，出南门南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望见木G，问题是求方城每边的长。据《刘注》的方法是依山入相补原理得 ET=2EG=2KG=2×北步×西步”为实，以“南步十北步”为从法，开平方除之，得EI，也就是方城边长。
不仅应用开平方法可得问题（A）的数值解，而且应用出入相补原理，还可以求得解答的精确表达式。如果以长方形的阔作为勾，长作为股，那么问题（A）相当于：（C）已知勾股积、勾股差，求勾、股。
大小两正方形的边长各是勾股和、勾股差，所以得 2 2勾股和 =4×勾股积+勾股差。
由此得勾股和，因而得勾和股。同样也可从勾股和、勾股积求得勾和股，这一方法可以参阅《勾股说》的末一命题。
宋元时期明确引入了未知数的概念。如果以x（当时称为天元一）表长 2方形阔，那么问题（A）相当于解一个二次方程x+ax=b，其中a相当于从法，b相当于实。所以在古代实质上已经给出了这一形式二次方程（a，b都是正数）的近似解和精确解，前者在宋元时期发展为求任意高次方程的数值解法，后者虽文献散佚不可查考，但是据唐初王孝通的著作以及史书关于祖冲之的引述看来，不能排除我国曾经对三次方程用几何方法求得精确表达的可能性。
在其他各国，公元九世纪的时候，阿拉伯数学家花刺子模（约780～约850）的代数学名著中列举了各种类型二次方程的精确解法，它的方法是几何的，它的精神实质和出入相补原理颇相类似。公元16世纪，意大利数学家关于三次方程的解法，也完全是几何的。
如果规定长方形的面积是长阔的积，那么依据出入相补原理，容易得到： 1（1）三角形面积=×高×底， 2由此可以完全奠定平面多角形的面积理论。但是在空间情形，如果规定长方体的体积是长、广、深的积，是否依据出入相补原理，可以推得 1（2）四面体体积=×高×底面面积， 3由此以建立多面体的体积理论，就不是那么明显而极其困难的问题。欧洲直到19世纪末，才把它作为一个难题明确地提了出来。公元1900年德国数学家希耳伯特（1862～1943）在国际数学会上所作著名讲演中，把体积理论列为23个问题之一。这一问题立即为德恩（1878～1852）所解决，答案是否定的：两个多面体要分割成彼此重合的若干多面体，必须满足某些条件，通称德恩条件。自此以后直到1965年，一位瑞士数学家西德勒才证明了德恩条件也是充分的。但是问题决不能认为已经彻底解决。从希耳伯特直到晚近，多面体体积理论仍不断成为一些知名数学家研讨的课题。德恩条件叙述复杂，也难认为是合宜的最后形式。
韦达定理
韦达生于法国西部普瓦图的丰特标勒贡特，曾经在法王亨利四世手下任职，还当过律师，数学原本只是他的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。
他在数学方面的主要贡献有，第一次用字母代替已知量，确定了符号代数的原理和方法，使当时的代数学系统化，并把代数学作为解析的方法使用，因此有“代数学之父”之称。
在几何学方面，他利用阿基米德的方法，通过多边形来计算圆周率π，在计算中，他使用了393216边形，得到π的近似值为 3.141592653……。精确到小点后面的第9位，是第一个超越祖冲之的人（祖冲之当时算到第六位）。
韦达不仅是一个数学家，而且还是一个破译密码的专家。他在法国政府任职时，曾经帮助法国政府破译了西班牙国王菲利浦二世使用的密码，对法国战胜西班牙起了重要作用，这样引起了西班牙国王的大怒，致使菲利蒲二世认为是法国人使用了什么“巫术”，因而还向罗马教皇指控法国“犯罪”。
青少年朋友们在初中学了一元二次方程
2
ax+bx+c=0（a≠0）
方程的根α，β和系数a、b、c的关系式是 b cα a a这就是我们熟悉的韦达定理。
但是这种说法不是很确切。请看下面几个定理的发表时间就清楚了。
定理1.一元二次方程
2
ax+px+q=0
两个根为α和β，则
α+β=-p，αβ=q
定理2.一元三次方程
3 2
x+px+qx+r=0
的三个正根是α、β、γ，则
α+β+γ=-p，αβ+βγ+αγ=q，αβγ=-r定理3.一元n次方程 n n-1 n-2n-3 x+ax+ax+x+…+ax+a=0的n个正根为x，x，x，…x，则 n-1 n 1 2 3 n x+x+x+…x=-a 1 2 3 n 1 xx+xx+xx+…xx+xx+…x x=a 12 13 14 23 24 n-1n 2 xxx+xxx+…+xxx+xxx+…+xx x=-a……。
123 124 234 235 n-2n-1n 3
n
xx…xn=（-1）a
12 n
定理4.（把定理2中的“正”字去掉就得到定理4）定理1的发表时间在历史上没有记载，然而定理2却是意大利数学家卡丹（1501～1576年）在1545年发表的，所以定理1应在此之前，而法国数学家的创作年代应在1550年之后，因此定理2也不应当是韦达的功劳。只有定理3才是韦达于1559年之后发表，但却有一个“正”字，直到1629年，那个“正”字才被荷兰数学家基拉德（1595～1632年）删掉，才使这个定理完整化，而这时韦达已离开人世20～30年之久了。
从这几个定理发表的时间来看，虽然定理1不是韦达发现，但对于这个定理他的贡献是很大的，所以用他的名字命名是有一定道理的。但为了慎重起见，因此我国中学教材已不再使用此名了，还是称作“根与系数的关系”。
罗巴切夫斯基几何
欧几里得几何（或称抛物几何）是我们大家所熟悉的，然而几何世界是广阔的，并非欧氏几何一枝独秀，还有着各式各样的非欧几里得几何，简称非欧几何。但通常意义下，非欧几何是指罗巴切夫斯基几何（或称双曲几何）和黎曼几何（或称椭圆几何）两种。
罗氏几何与欧氏几何有着明显的区别。在罗氏几何中，承认：过直线外一点有无穷多条直线和已知直线共面但不相交。共面而不相交的两条直线被第三条直线所截，同位角（或内错角）不一定相等；同一直线的共面的垂线和斜线不一定相交；三角形内角和小于180°：对应角相等的两个三角形全等（就是说，罗氏平面上不存在相似而不全等的三角形）；三个内角是直角的四边形，其第四个内角却小于直角（就是说罗氏平面上没有矩形）；通过不共线三点不一定能作出一个圆；三角形三条高线不一定相交于一点；等等。
那么对于只熟悉欧氏几何的人来说，这些都是不可思议的。
罗氏几何是以其创建者俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（1792～1856）的名字命名的，罗巴切夫斯基在证明欧几里得的平行公理时，力图由否定“同一直线的共面的垂线和斜线必相交”而引出矛盾。然而推论一个接一个，便形成了一个严密完善的系统而逻辑上并存在的任何矛盾。于是他相信建立起来的几何体系代表着一种新的几何学，称它为“虚几何”。1826年2月23日罗巴切夫斯基在喀山大学数学物理系宣讲了他的关于这种新几何的论文即《关于几何原理的概述》，随后他又陆续出版了许多著作来阐述自己的观点，直到逝世的前一年，眼睛几乎失明了，他还坚持通过口授写下了俄文和法文的《泛几何学》。由于罗氏几何的结论与我们的直觉并不一致，因而遭到同时代的绝大多数的数学家的非议，甚至讽刺、嘲笑。就连当时俄国最大的两位数学家也说这是荒唐至极。罗巴切夫斯基却毫不顾忌这一切，始终坚持他的发现，他不遗余力地丰富它，发展它和捍卫它！
然而最早发现罗氏几何的并非是罗巴切夫斯基，而是德国的高斯，他也是从证明欧氏平行公理中得来，最初他称这种几何为反欧几里得几何，后来又改称星空几何，最后称之为非欧几何。但由于害怕引起别人的反对和攻击，他没有发表过关于这种几何的任何见解。
发现罗氏几何的另外还有F·鲍耶的儿子，匈牙利军官亚·鲍耶，他根本不听从父亲的劝阻，在试证欧氏平行公理时，发现了这种几何。1823年11月23日给父亲的信中说：“我已经得到如此奇异的发现，连我自己也为之惊讶不止……，我已经从乌有创造了整个世界。”1832年他的关于新几何的著作以附录的形式发表在他父亲的一本书的后边，根据“附录”的拉丁文字，亚·鲍耶的工作在数学文献上获得“亚编的克斯”的称号。
高斯，鲍耶，罗巴切夫斯基他们各自独立的工作，因此说罗氏几何的问世当归功于他们三人，只是罗巴切夫斯基发表在先，所以命名罗巴切夫斯基几何，遗憾的是，他们三人在生前都没能亲眼看到罗氏几何被社会所公认。
罗氏几何直到1871年即罗巴切夫斯基死后15年才获得公认。
罗氏几何与欧氏几何之所以有如此大的差别，其根源在于罗氏平行公理是欧氏平行公理的反面命题，当我们把欧氏平行公理及等价命题，如过直一外一点恰有一条直线和已知直线共面不相交；共面不相交的二直线被第三直线所截，同位角（或内错角）相等；一直线的共面的垂线和斜线必相交；过不共线三点恒有一圆；三角形三高线交于一点；任何三角形内角和等于180°；等等。
的反面命题写出来，是否可找到前面出现的那些离奇的罗氏几何定理的踪影了。
其实，罗氏几何中也不尽是离奇的结论，由于罗氏几何的公理中除平行公理外都和欧氏公理相同，因此凡是涉及平行公理的定理都是共有的，如：对顶角相等，三角形全等的判定，外角定理以及三角形中边、角的不等关系等。两者的公共部分被称做绝对几何。就是说：绝对几何的公理加上欧氏平行公理组成了欧氏几何的公理系统，演绎推理构成欧氏几何；绝对几何加上罗氏平行公理构成罗氏几何公理系统，演绎推理就形成了罗氏几何。从公理法的角度看问题，两种几何之间的关联、同异是这样简单的清晰。
孕育了罗氏几何的是由于“平行公理试证”，这是几何学发展史上的一件大事。公元前6世纪几何学在古希腊得到了很大的发展，成为至高无上的学科，人人争学几何，数学家柏拉图就在他创建的学院门前高悬“不懂几何学的人莫入”大字条幅。公元前3世纪，欧几里得《几何原本》成功地反映了证明几何，完美地实践了当时的公理化思想。它的问世，人们如获至宝，然而，人们为了证明它的平行公理，以为可以由其他公理推证出来，即认为它不是公理而只是个定理，掀起了证明平行公理的热潮，从而导致了罗氏几何的诞生，罗氏几何被公认即定论了欧氏平行公理是独立的，不能由其他的公理推证出来。
罗氏几何的诞生，不只是为几何学增添了一个新的分支，它是一次数学思想的重大飞跃，使几何学从古典阶段进入了现代化阶段。欧几里得《几何原本》是古典几何的代表，是建立在对现实世界的感知之上的，这反映了现实空间形式。因此，古典几何又叫实证或实体几何。
罗氏几何却离开了感知，改变了几何学对直觉真实性的追求，尝试了思维的创造、人为地构造几何空间。人们开始了在几何领域里充分地施展自己的聪明才智，创造精神，接踵而来的是黎曼几何，仿射几何，射影几何等等，极大地发展了几何学。
等分圆周
人们在研究规尺作图三大难题中，还发现了许多类似的难题。求等圆周的线段的问题，就是一个与化圆为方密切相关的难题。此外，流传很广的是等分圆周问题，它是和三等分角相仿的难题。这个问题又叫做按规尺作图，作圆内接正多边形问题，或者叫做正多边形作图问题。
古希腊人按规尺作图法，作出了正三角形、正方形、正五边形、正六边 n形，以及边数为它们2倍（n为正整数）的正多边形。他们还想继续作出其他的正多边形，可是正七边形就作不出来。于是，什么样的正多边形能作得出来，就成了一个作图难题。因为这个问题与三等分角问题的性质相同，关系密切，所以人们常常把它们放在一块研究。类似的，还有许多作图难题也不断地涌现出来，比如五等分、七等分任意角问题。
在漫长的年代里，难以数计的人参加了研究这些问题的行列，可是谁也提不出解决的办法。慢慢地，人们开始产生了这样一个问题：有些作图难题之所以难，是不是按规尺作图方法，本来就办不到，而不是有可能办到，只不过人们还没有找到这样的方法呢？这个想法，不是哪一个聪明人的头脑里一开始就有的。它是在一代人接一代人，延续研究了2000多年，总是找不到解决的方法之后，有些人才生了“异心”！
他们想：圆规和直尺不过是一种工具，世界上本来就没有什么事情就能干的万能工具。特别是规尺作图法，实际上是对规尺的使用作了种种禁令，限制它们的作用，所以有些图可以作出来，有些就可能作不出来。
数学是一门非常精确的科学。数学问题是不能根据想象或者看法就能作出结论的，它必须有严格的证明。假设有些图形是规尺作图法不能作出来的，那么，标准是什么？界限在哪里？也就成为一个难题了。
这些难题，直到解析几何出现以后，人们学会了应用代数的方法来研究几何问题，才找到了解决的途径。
用代数方法研究几何图形
数学和其他科学的发展一样，不少长期解决不了的问题，一旦出现了新的认识，或者把它们放到更大的范围去观察，常常很快就找到了解决问题的途径和方法。解析几何的出现，是规尺作图三大难题走向解决的转析点。
解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿创立的。笛卡儿和2000年前的柏拉图一样，都是哲学家兼数学家，他们都形成了各自的学派，有的数学史说：柏拉图主义者相信权威，笛卡儿学派相信理性，但是他们同样认为数学是科学之王。
1637年，笛卡儿发表了他的名著《几何学》。这本书起初是作为他的哲学著作《方法论》一书的附录出版的，书中引入了变数，创始了解析几何。
在初等数学中，基本的情况是几何是几何，代数是代数。人们研究和处理几何和代数问题，就方法而言是不同的。比方说，在平面几何中，要考查三点是否共线，或者四点是否共圆，虽然有时也利用某些代数知识，但是一般不讨论直线或者圆的方程，以及它们的解。
解析几何是用代数方法来研究几何图形，通过建立坐标系，在几何与代数之间搭起了一座桥梁。有了这座桥梁，人们就可以把几何问题先“翻译”成代数题目，例如写出它们的方程，用代数的方法加以解决；之后，再把得到的结果，“翻译”成几何的答案。这样，就不只增加了解决几何问题的思路和方法；而且可以把许多几何问题的性质搞得更为清楚，使这些几何题化难为易了。
解析几何大大帮助了人们对规尺作图问题的认识和判断。在这方面，最先突破的是高斯。
1795年，高斯来到德国著名的哥庭根大学学习。入学不久，他就按规尺作图法，作出了正十七边形。不久，他又提出理论，证明了按规尺作图方法，根本就作不出正七边形、正九边形、正十一边形和正十四边形等等。所有这些问题，都是延续了2000多年没有得到解决的难题，被年轻的高斯解决了。
特别是关于规尺作图法的不可能问题，是一项惊人的成就。他从思想方法上，促进了规尺作图三大难题的研究和解决。
数学难题的解决，往往要涉及较多的数学知识。要了解高斯的这一成果，先得了解一下费尔马数。
费尔马是一个很有成就的数学家，提出过很多著名的定理。他还与笛卡儿同时奠定了解析几何的基础；与巴斯嘉一起开创了概率论的研究工作；在光学中提出了费尔马极小时间原理；在数学中提出过无限下推法。不过，费尔马的不朽贡献，主要是在数论方面。
在费尔马一生的大量成就中，也包含着两项影响较大的不确切的工作；一项是他的一个猜想，被证明是错误的；另一项就是前面谈到的近代三大数学难题之一的费尔马大定理，在他宣称被他证明了的300年之后，人们还没有找到证明的方法，于是很多人便对他宣称有过的证明明表示了怀疑。这里先介绍前一个猜想。
2n
费尔马研究了形如2+1的数，共中n是非负整数。他令n分别等于0， 2n1，2，3，4，得到相应的2+1如下表： n 0 1 2 3 4 2n 1 2 4 8 16 2+1 2+1=3 2+1=52+1=172+1=2572+1=65537 2n在这个表中，所有形如2+1的数：3，5，17，257，65537都是素数。
2n
于是，费尔马发表猜相：形如2+1的数，当n为非负整数时，都是素数。
2n
后来，在数论中，把这样的数都称为费尔马数，记作Fn，即Fn=2+1，n为非负整数。
但是，费尔马死了67年之后的1732年，25岁的数学家欧拉，证明了F 5不是素数： 5n 32 F=2+1=2+1 5 =4294967297 =641×6700417这样一来，就把费尔马的猜想给否定了。在欧拉那个时候，人们要判断F是不是素数，还是相当困难的，因为事先并不知道要判断641是不是它的 5因数。
后来，人们分别证明了n等于6到16的费尔马数，都不是素数；n等于17时是不是素数，到现在还是一个难题。n等于18以后，也分别找出了三四十个不是素数的费尔马数。
总之，除了原来已经知道的n等于0到4的这五个费尔马数是素数外，新的费尔马数是素数的，一个也没有找着。
这样，有一种相反的猜想已经提出来了：只有有限个费尔马数是素数。
这也是一个难题。
高斯按规尺作图法作出了正十七边形后，紧接着就证明了一个关于规尺作图的重大定理：如果一个奇素数P是费尔马数，那么，正P边形就可以用规尺作图法作出，否则就作不出来。
根据这个定理，F=3，F=5，F=17，所以正三角形、正五边形、正十七 0 1 2边形都能作出，而7，11，13等素数都不是费尔马数，所以正七边形、正十一边形、正十三边形等都不能作出。
对应于F的正257边形，是德国的黎克洛于1832年，用规尺作图法作 3出来的；对应F的正65537边形，经德国的赫尔姆斯十年的研究，才按规尺 4作图方法作出来。黎克洛的作法，占了一本数学杂志的80页；而赫尔姆斯的手搞，装了整整一个手提箱，现在还保存在哥庭根大学。
高斯在数学的许多领域中，都作出了杰出的贡献，被称为“数学之王”。
他一生工作严谨，生活简朴，坚持每天读报，喜爱文学和研究过多种外语，并且在物理学、天文学、测绘学方面，都作出了重要贡献。
高斯死后，按照他的遗愿，人们在他的墓碑上刻上一个正十七边形（也有的书上说是墓碑的底座是正十七边形），以纪念他少年时代杰出的数学发现。
高斯的墓碑，也是解决规尺作图难题，在2000多年间的一块里程碑。
正多边形的作图问题，其实就是等分圆周的问题，它与三等分角问题有不少相似的地方。有了解析几何，有了高斯等数学家的经验，人们对规尺作图可能作出的与不可能作出的图形，逐渐有了深入的认识。其中，下面两个结论是很重要的： 1.在规定某一线段的长度是单位长度 1后，如果我们要作的线段的长度，可以由单位长度 1，经过有限次的加、减、乘、除、开平方（指正数开平方，并且取正值）后得出来，那么，这一线段就能用规尺作图法作出； 2.圆规直尺作图法所能作出的线段或者点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方所能作出的线段或者点。
举一个例子，要考查圆内接正五边形是否可以作出，我们取圆的半径为 101，计算得圆的内接正五边形的一边长为，这合乎第一条，所以规 2尺作图法作圆内接正五边形是可能的。
3
再举一个例子，取一个线段的长为1，问求作长为 9 3能吗？
这里要开三次方，根据第二条规定，规尺作图法只能作出经有限次加、减、乘、除及开平方的线段，看来这条线段作不出。
错了！因为
3 9 3
3
根据第一条，这条线段能作出。你如果有兴趣，不妨一试，把这一线段作出来。
这两个例子说明，要证明一条线段能作出要容易些，要证明一条线段不能作出却困难得多。
但是，标准有了，三大作图难题的解决就提上日程了。
1837年，23岁的马彻尔提出了立方倍积与三等分任意角，不可能用规尺作图法解决的证明，宣布了2000多年来，人类征服初等几何三大难题夺得了重大的胜利。
我们知道，虽然有些角（例如直角）查以用规尺作图法三等分，但是有些角不可以（例如30°角），所以要按规尺作图法三等分任意给定的角，就不可能了。
事实上，在1830年，19岁的法国数学家伽罗华，就提出了解决这一类问题的系统理论和方法，所以现在的专门著作，一般着重讲伽罗华理论，而把规尺作图三大难题以及等分圆周等问题的解决，当成这种理论的推论、例题或者习题。因此，后来对万彻尔的工作，并不十分注意。
五次方程的挑战
初中的主要数学课程是几何与代数。“代数”一词，是九世纪时亚细亚的数学家阿里·花拉子模首先使用的。英文的“Algebra”一词，是从阿里·花拉子模那里来的。我国从1711年清朝康熙五十年起，先后音译作“阿尔朱巴尔”、“阿尔热巴拉”、“阿尔热八达”等。1859年清朝咸丰九年，李善兰与伟烈亚力合译的《代数学》，是我国意译“Algebra”为“代数”的开始。
前面已经说过，解析几何的出现，使人们可以通过解代数方程来解答几何问题。因此，规尺作图三大难题的解决，同代数方程的解挂上了钩。
公元三世纪的希腊数学家丢番都和九世纪的阿里·花拉子模，都求得二 2次方程ax+bx+c=0的解为 x 2a但是，很多数学史的书上只说阿里·花拉子模是世界上最先求得二次方程一般解的人，原因是丢番都当时认为只有根式下的数是一个完全平方时，方程才能算有解，并且丢番都只承认正根。
到了16世纪，意大利数学家卡尔丹和他的学生费尔拉利，相继发表了用根式求解三次方程与四次方程的方法。卡尔丹在发表三次方程的公式证明时曾声明，公式是威尼斯的塔尔塔利亚告诉他的。这个公式实际上是公元1500年左右波仑亚的数学教授非尔洛最先研究，几经转折，为塔尔利亚完全掌握，在卡尔丹保证保密后告诉了卡尔丹的，但六年后，卡尔丹给出证明发表了。
数学界称这个公式为卡尔丹公式。
由于无论是二次方程、三次方程还是四次方程，都能通过根式求它的一般解，于是很多数学家，争相研究和寻找根式求解五次方程的公式。经历16世纪的后半叶、17世纪、18世纪，直到19世纪初，很多数学家和数学爱好者，都把它作为检验自己才能的试金石，可是毫无例外，他们都失败了。
根式解法虽然没有找到，可是人们却积累了很多的经验和知识，特别值得一提的，是法国数学家拉格朗日。他在高次方程根的排列等方面作了很多的工作，而且提出这是整个问题的关键。他还指出用根号解五次以上的方程，是不可能解决的问题之一。可是，他对不可能没有给出什么证明，他就这个问题的困难性说：“它好像是在向人类的智慧挑战。”
人类的智慧终于夺得了胜利。
在拉格朗日去世后11年的1824年，挪威22岁的数学家阿贝尔，证明了一般五次以上的代数方程，它们的根式解法是不存在的。这就是说，除了某些特殊的五次以上的方程，可以用根式解外，许多五次以上的方程，把它的系数看成字母，无论由这些字母组成什么样的千奇万状的根式，都不可能是这个方程的根。延续300年的难题解决了。阿贝尔的成果轰动了世界！
阿贝尔一方面证明了有的方程不能用根式解；另一方面也可以举例证明，有的方程能用根式解。于是，能用根式解或者不能用根式解的方程，到底用什么来判断呢？阿贝尔没有来得及解决这一问题。因为他少年时期备受贫困折磨。身体十分虚弱，在27岁上，就害痨病死了。
科学的接力棒总是要继续往下传的。法国数学家伽罗华在阿贝尔去世后的第二年，完成了这一项艰巨的工作。可惜他的生命更加短促，只活了 21岁。
抽象代数学的诞生
伽罗华于1811年10月26日，出生在法国巴黎附近的一个小市镇上。他从16岁起，就致力于五次以上方程的根式解法的研究。
伽罗华不仅对前辈数学家拉格朗日等的工作，有深入的学习和了解；而且对同时代的数学家阿贝尔等的成果，也有研究和认识。他是在前人的基础上，走上一条崭新的道路的。
1828年，17岁的中学生伽罗华认为自己得到了重大的成果。他写出论文，把它送交有很多当代第一流数学家的法兰西科学院，要求审查。
那年6月1日，在法兰西科学院的例会上，曾决定由当时的大数学家柯西与波阿松，审查这位中学生的论文。但是，那位法国和世界最有名望的大数学家之一的柯西，根本不重视这件事，他把伽罗华的论文给弄丢了。
伽罗华还在继续研究。1829年，他又写了一些重要论文，于1830年第二次把论文提交法国科学院审查。这一回，科学院决定由著名的数学家富里埃审查。可是62岁的富里埃，就在那年离开了人世。人们不但不知道富里埃的审查意见，而且在他的遗物中，没有找到伽罗华的论文，显然是又弄丢了。
伽罗华曾对此提出了意见。
幸好，第一次应该和柯西一道负责审查伽罗华论文的那位科学院院士波阿松，注意到了伽罗华的稿件一再被丢失的情况，劝他重写一份。1831年，伽罗华把重写的论文，第三次交给法国科学院。
热心的波阿松，亲自审查了这份多灾多难的论文。他审查了四个月，可是看不懂。波阿松只好在他签署的审查意见上，说自己“完全不能理解”。
当代杰出的数学家波阿松都说他不能理解，怎么办呢？看来，伽罗华应该把自己的论文写得通俗一些，详细一些。
但是，伽罗华不可能有更多的时间和精力来充分阐述自己的观点了。因为他是一个忧国忧民的青年，正在参加当时法国如火如荼的政治斗争。
当时法国的形势是这样的：1830年六七月间，国王查理一世因为违反和破坏了宪法，被愤怒的巴黎群众赶走了。可是前门驱狼，后门进虎，“波旁王朝”被推翻，奥尔良公爵路易——菲力浦，却趁机当上了国王，建立了“七月王朝”。这时伽罗华正在投考大学。
和高斯的情况正好相反。伽罗华在世的时候，很少有人认为他是“天才”或者“神童”什么的。后来，人们谈起伽罗华来，有的老师说：“他没有智慧，不然就是他把他的智慧隐藏得太好了，使我简直没法子去发现它。”有的老师干脆说：“他什么也不懂。”
当时，巴黎最著名的大学是工科大学和高等师范学校。伽罗华很想读工科大学，但是两次都没考上。在第二次考工科大学时，他也考了高等师范学校，幸好考取了。1830年，19岁的枷罗华，进入高等师范学校学习。就在这年的7月，路易—菲力浦篡权上台。
生气勃勃的伽罗华，是个激进的共和主义者，他和他的战友向篡夺政权的路易——菲力浦王朝，展开了激烈的斗争。
这年12月，入学不久的伽罗华被学校开除了。
被开除后，伽罗华以为人补习数学为业，但他的革命斗志更旺。1831年六月，他被捕了，罪名是企图暗杀国王。由于警方拿不出证据，只好释放了他。但是紧接着在七月间，伽罗华第二次被捕，并且被投入监狱，一直关到了1832年春天，因为监狱里流行传染病，才把他释放出狱。
半年多的监狱生活，使这个21岁的青年身心受到了严重的摧残。他的姐姐回忆说，那时伽罗华面色憔悴，两眼发呆，活像一个50岁的老头。
出狱后一个月，反动派设下圈套，让伽罗华与路易—菲力浦王朝的一个反动军官决斗，被击中致命处，第二天——1832年5月31日早晨，不满21岁的伽罗华离开了人世。
伽罗华短促的一生，像一闪而过的明星，照亮了近世代数学前进的道路！
在决斗前夕，伽罗华把他的研究工作写成扼要的信件，托朋友转交《百科评论》杂志发表。这封信在他逝世之后4个月发表了，但是没有引起人们的重视。
伽罗华在他仓促写成的信中，希望他的朋友把他的研究成果交给当代的大数学家，信末有这样的话：“你可以公开请求雅可比或者高斯不是对于这些定理的真实性，而是对于其重要性表示意见。在这以后，我希望有一些人将会发现，把这堆东西注释出来对他们是有益的。”据后来的调查，这些资料在当时并没有交给这两位数学家。
在伽罗华逝世后14年的1846年，法国数学家柳维勒，从伽罗华的弟弟那里得到了一些伽罗华的手搞，并且把它发表在自己创办和编辑的数学杂志上。从此，伽罗华的思想才逐渐引起人们注意和理解。以后，人们又从伽罗华的姐姐、弟弟那里，搜集到他遗留下来的全部手稿。这不到80页的手稿，是伽罗华给人类留下的十分宝贵的财富。数学家在这个基础上，开始注释、追踪、研究和发展伽罗华所开创的工作。
到19世纪晚期，伽罗华所开创的数学工作，逐渐形成了数学的一个重要的分支——近世代数学，又叫做抽象代数学。因为它已经成为了近代代数学的主要内容，所以也有人干脆就叫它代数学的。它的主要内容，包括群论、环论、域论、布尔代数，以及共他代数系统的重要理论。这些理论，是近世代数学的伟大成就，并且在科学技术中有广泛的应用。
伽罗华是群论的奠基人。以伽罗华的名字命名的伽罗华理论，使得五次以上的代数方程，不可能有一般的根式解，初等几何作图三大难题，以及高斯关于正多边形作图的定理等等，都不过是一些明显的推论或者简单的例题、习题了。
今天，大学生在学了伽罗华理论后，稍带就证明了三等分角、立方倍积与化圆为方，是规尺作图的不可能问题。
在规尺作图三大难题中，化圆为方问题是最后得到解决的。
根据伽罗华理论，如果π是超越数，那么，化圆为方是规尺作图的不可能问题。可是，数学家拖了很长的时间，才证明了π是超越数，这就相应地推迟了化圆为方问题的解决。
什么是超越数？这个概念，首先是由著名数学家欧拉提出来的。比如圆周率π是我们很熟悉的。我国南北朝时的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926与3.1415927之间。π的值这样算下去，它是有尽小数呢？还是无穷小数？如果是无穷小数，那么，是不是循环小数呢？如果能证明π是不循环的无尽小数，那就是无理数了。
无理数有不同的情况。像 2是x2 - 2 = 0的根， 7代数方程。的实数，叫做代数数；凡不是代数数的实数，都叫做超越数。
由此可见，超越数必然都是无理数；但是一个无理数是不是超越数，那就需要证明了。人们发现，要证明π是一个无理数并不太困难，要证明π是一个超越数，却是一个很难的题目。
直到1882年德国数学家林德曼才证明了π是超越数，使方圆问题是规尺作图的不可能问题，得到证明。
到此，初等几何三大难题全部彻底解决。
这三大难题，从传说中的第罗斯岛人改造祭坛的年代起，到 19世纪末叶，前后经历了2000多年。在全世界的几十代人的努力中，不知有多少人为它绞尽脑汁，熬尽心血，吃尽苦头，耗尽精力，才夺得最后的解决。
这真是得来不易的胜利啊！
