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数学大发现（一）
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数学大发现
圆面积求法
怎样求圆面积？这已是一个非常简单的问题，用公式一算，结论就出来了。可是你可知道这个公式是怎样得来的吗？在过去漫长的年代里，人们为了研究和解决这个问题，不知遇到了多少困苦，花费了多少精力和时间。
在平面图形中，以长方形的面积最容易计算了。用大小一样的正方形砖铺垫长方形地面，如果横向用八块，纵向用六块，那一共就用了8×6=48块砖。所以求长方形面积的公式是：长×宽。
求平行四边形的面积，可以用割补的方法，把它变成一个与它面积相等的长方形。长方形的长和宽，就是平行四边形的底和高。所以求平行四边形面积的公式是：底×高。
求三角形的面积，可以对接上一个和它全等的三角形，成为一个平行四边形。这样，三角形的面积，就等于和它同底同高的平行四边形面积的一半。
因此，求三角形面积的公式是：
1
×底×高。
2
任何一个多边形，因为可以分割成若干个三角形，所以它的面积，就等于这些三角形面积的和。
2
4000多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一个正方形，占地52900m。
它的底座边长和角度计算十分准确，误差很小，可见当时测算大面积的技术水平已经很高。
圆是最重要的曲边形。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形。怎样求圆的面积，是数学对人类智慧的一次考验。
也许你会想，既然正方形的面积那么容易求，我们只要想办法做出一个正方形，使它的面积恰好等于圆面积就行了。是啊，这样的确很好，但是怎样才能做出这样的正方形呢？
你知道古代三大几何难题吗？其中的一个，就是刚才讲到的化圆为方。
这个起源于古希腊的几何作图题，在2000多年里，不知难倒了多少能人，直到19世纪，人们才证明了这个几何题，是根本不可能用古代人的尺规作图法作出来的。
化圆为方这条路行不通，人们不得不开动脑筋，另找出路。
我国古代的数学家祖冲之，从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加，用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。
古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。
古印度的数学家，采用类似切西瓜的办法，把圆切成许多小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形的面积去代替圆面积。
众多的古代数学家煞费苦心，巧妙构思，为求圆面积作出了十分宝贵的贡献。为后人解决这个问题开辟了道路。
16世纪的德国天文学家开普勒，是一个爱观察、肯动脑筋的人。他把丹麦天文学家第谷遗留下来的大量天文观测资料，认真地进行整理分析，提出了著名的“开普勒三定律”。开普勒第一次告诉人们，地球围绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳位于其中的一个焦点上。
开普勒当过数学老师，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度，他们不断地增加分割的次数。但是，不管分割多少次，几千几万次，只要是有限次，所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分成无穷多等分才行。
开普勒也仿照切西瓜的方法，把圆分割成许多小扇形；不同的是，他一开始就把圆分成无穷多个小扇形。
因为这些扇形太小了，小弧AB也太短了，所以开普勒就把小弧AB和小弦AB看成是相等的，即AB = AB。
1
小扇形AOB的面积=小三角形AOB的面积= R×AB。
2
圆面积等于无穷多个小扇形面积的和，所以 1 1 1圆面积S = R×AB 2 2 2 1 2在最后一个式子中，各段小弧相加就是圆的周长2πR，所以有 1 S = R×2 2这就是我们所熟悉的圆面积公式。
开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615年，他将自己创造的这种求圆面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。
开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，并果敢地断言：无穷小的扇形面积，和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上，向前迈出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲流传开了。数学家们高度评价开普勒的工作，称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉。
一种新的理论，在开始的时候很难十全十美。开普勒创造的求圆面积的新方法，引起了一些人的怀疑。他们问道：开普勒分割出来的无穷多个小扇形，它的面积究竟等于不等于零？如果等于零，半径OA和半径OB就必然重合，小扇形OAB就不存在了；如果客观存在的面积不等于零，小扇形OAB与小三角形OAB的面积就不会相等。开普勒把两者看作相等就不对了。
面对别人提出的问题，开普勒自己也解释不清。
卡瓦利里是意大利物理学家伽利略的学生，他研究了开普勒求圆面积方法存在的问题。
卡瓦利里想，开普勒把圆分成无穷多个小扇形，这每个小扇形的面积到底等不等于圆面积，就不好确定了。但是，只要小扇形还是图形，它是可以再分的呀。开普勒为什么不再继续分下去了呢？要是真的再细分下去，那分到什么程度为止呢？这些问题，使卡瓦利里陷入了沉思之中。
有一天，当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时，他忽然灵机一动：唉，布不是可以看成为面积嘛！布是由棉线织成的，要是把布拆开的话，拆到棉线就为止了。我们要是把面积像布一样拆开，拆到哪儿为止呢？应该拆到直线为止。几何学规定直线没有宽度，把面积分到直线就应该不能再分了。于是，他把不能再细分的东西叫做“不可分量”。棉线是布的不可分量，直线是平面面积的不可分量。
卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题。他想，可以把长方体看成为一本书，组成书的每一页纸，应该是书的不可分量。这样，平面就应该是长方体体积的不可分量。几何学规定平面是没有薄厚的，这样也是有道理的。
卡瓦利里紧紧抓住自己的想法，反复琢磨，提出了求圆面积和体积的新方法。
1635年，当《葡萄酒桶的立体几何》一书问世20周年的时候，意大利出版了卡瓦利里的《不可分量几何学》。在这本书中，卡瓦利里把点、线、面，分别看成是直线、平面、立体的不可分量；把直线看成是点的总和，把平面看成是直线的总和，把立体看成是平面的总和。
卡瓦利里还根据不可分量的方法指出，两本书的外形虽然不一样，但是，只要页数相同，薄厚相同，而且每一页的面积也相等，那么，这两本书的体积就应该相等。他认为这个道理，适用于所有的立体，并且用这个道理求出了很多立体的体积。这就是有名的“卡瓦利里原理。”
事实上，最先提出这个原理的，是我国数学家祖。比卡瓦利里早1000多年，所以我们叫它“祖原理”或者“祖定理”。
阿贝尔与n次方程的代数解
同学们学过一元一次方程
ax=b（a≠0）
b
它的代数解是：x =（a≠0）
a
2
又学了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）它的代数解（用方程的系数经过若干次代数运算而得到表示根的式子，叫做方程的代数解）是： x 2ab这个求根公式看来很简单，也很容易学，但同学们可知道它的发现过程却经历了漫长的历史吗？
公元前2000年左右巴比伦人的泥板文书中说，求出一个数，使它与它的倒数的和等于一个已知数，即求出这样的一对数x和x，使 xx = 1且xx = b，由此得出关于x的方程是 2 x-bx+1=0 b2 b 2他们作出（），再作出 ( ) 2 2 b b2 x = 2 2 b b x 2 2这实际上是古巴比伦人得到的求根公式。但是当时不承认负数的存在，所以他们回避了负根。
希腊的丢番图（约前246～330）则只承认一个正根，即使两个都是正根，也只取一个。
印度的波罗及摩及（约公元598～665）在公元628年写成的《波罗摩修正体系》中，得到方程 2 x+Px-q=0的一个根的求根公式是 2 P x 2到了9世纪乌兹别克数学家花刺子模（约公元780～850）在他的《代数学》中第一次给出了一般的一元二次方程的解法，他承认有两个根，还允许无理根的存在，但他不认识虚数，所以不承认虚根。
法国数学家韦达（1540～1603）则知道一元二次方程在复数范围内恒有解。
我国数学家对一元二次方程的研究有特殊的贡献。秦汉时代的《九章算 2术》就有求方程x+34x-7100=0的正根记载。
2
在3世纪，赵爽（约公元222年）注释《周髀算经》时，提出了x-bx+c=0型的求根公式。也是世界上最早记录了二次方程的求根公式。
一般的三次方程的代数解的表达形式经历了800年之久，到了16世纪初，欧洲文艺复兴时代，才由意大利数学家给出。下面的三次方程的代数解公式，一般称为卡丹（1501～1576）公式： 3 2方程x+px+q=0的三个根是y+z，wy+wz，wy+wz， 1 1 1 21 1 1 3 q q2 p3 q q2 p3 q（其中y 2 4 27 2 4 27 3 2 w2 2其实，发现这个公式的并不是卡丹。原来这里还有一段诱人深思的故事呢！
3
在意大利的波伦亚城有一位数学教授费洛，他首先发现了方程 x+mx=n（m，n为正数）的解法，并于1505年把此方法传授给他的学生弗罗里都斯。
到了1525年，在意大利的威尼斯城举行了一次数学竞赛会，弗罗里都斯的对手塔尔塔里亚已经估计到对方会提出求解三次方程的问题，所以他就全力以赴的研究这个问题，他在比赛前的8天里以惊人的速度解决了800多年来没有解决的问题。在比赛过程，塔氏在两小时内解答了弗氏提出的30个问题，而最终取得了比赛的胜利，而弗氏却以回答不出塔氏的问题而宣告失败。
在这之后，塔氏更是专心致志的研究三次方程的问题，到1541年，他便找到了一般三次方程的代数解。这时卡丹请求塔氏告诉他这个公式，并保证不泄露秘密，于是塔氏便满足了卡丹的要求。但卡丹并没有遵守诺言，在1545年，卡丹在他的《大法》一书中公布了这个解法，所以就一直被误认为是卡丹公式，如果这个故事是真的，卡丹的为人品德也真是令人讨厌！
就在《大法》这本书里，卡丹还公布了他的学生费拉里发现的一般四次方程的代数解。
从二次方程到四次方程，人们通过变换，配方和因式分解等手段解决了一般的二、三、四次方程的代数解问题。例如： b aX2 + bX + c = 0，将X = Y -代入可求出代数解； 2a b aX3 + bX2 + cX + d = 0，将X = Y -代入可求出代数解； 3a b 4 3 2 aX + bX + cX c + dX + e = 0，将X = Y -代入可求出代数解。
4a
于是人们类比联想：一般的n（n≥5）次方程可能求出它的代数解。
从16世纪中叶到19世纪末，当时几乎所有的数学家都坚持不懈地研究这个问题，人们发挥了一切聪明才智，但都没有找到解决问题的办法。
于是人们考虑重新认识这个问题，并且从反面提出问题：“一般n（n≥5）次方程可能没有代数解”，而且持有这种怀疑的人越来越多。
拉格朗日（1736～1813）在回忆录中写道：“用根号解四次以上的方程的问题是一个不可能解决的问题，虽然，关于解法的不可能性，什么也没有证明。”高斯（1777～1855）在1801年的《专题论文》中也说过，这个问题也许是不能解决的问题。
拉格朗日有一个学生叫鲁菲尼在1799～1813年之间，曾经多次企图证明n（n≥5）次方程没有代数解，但都没有成功，直到1824年，22岁的挪威数学家阿贝尔（1802～1829）证明了这个猜想：“n（n≥5）次方程没有代数解”。
值得指出的是，阿贝尔虽然只活了26年零8个月，但在数学上的贡献是巨大的，正如一位数学家所说：“阿贝尔留下了一些思想，可供数学家们工作150年。”他在1823年发表第一篇论文，最先提出对一种积分方程的解法。
1824年发表了上述定理的证明，寄给高斯，没有受到重视（当时他的定理的叙述是：高于四次带有任意文字系数的方程不可能用代数一般的解法），1825～1826年，阿贝尔去柏林，在那里结识了工程师、数学家A·L·克列尔，成为他的知交和良师，并在克列尔创办的《纯粹数学与应用数学》杂志第一卷（1826年）上发表阿贝尔关于五次方程研究的详尽内容，当然还有其他方面的论文。
为什么人们经过这么长时间的努力，才证明了“n（n≥5）次的方程没有代数解呢”？是否同不能正确地提出问题和认识问题有关呢？如果能较早地从反面提出问题，也许这个问题的解决会缩短一些时间呢！这个问题是否也给我们这样一个启示：当从正面考虑问题不得其解时，可从反面去思考和研究，这正是“正难则反”的思维策略！
令人着迷的四色问题
同学们，让我们来做这样一个试验：给地图着色。在我国的地图上，给每个盛直辖市涂上一种颜色，要求相邻的省或直辖市有不同的颜色，最少需要几种颜色就足够了？答案是四种！再让我们来看看在世界地图上，用不同的颜色区分开相邻的国家，最少用几种颜色就足够了？答案还是四种。
我们上边做的给地图着色的实验，100多年前就已经有人做过了。大约在1850年，英国伦敦大学的学生居特里偶然发现：要区分英国地图上的州，有四种颜色就够了。他把这个发现告诉了弟弟，哥儿俩又进行了大量这方面的实验，发现有些地图用3种颜色，有些地图用4种颜色，但最多用4种颜色足以把共同边界的两个国家（或地区）区分开，即把相邻的国家涂上不同的颜色。居特里相信这个发现是正确的，但他证明不了。于是去请教他的老师，他的老师也不能证明这个问题。后来在1878年，当时英国的数学权威凯利在伦敦数学会上正式提出了这个问题。这个问题被称为四色问题。
四色问题提出以后，吸引了许多人。不断有人声称自己已经解决了四色问题，但都被人找出了证明过程中的错误。四色问题的影响越来越大，更多的人热衷于这个问题，这期间有人证明了“五色定理”，即给地图着色，用5种颜色就可以把相邻的国家（或地区）区分开，但四色问题仍没有人能够解决。
著名的大数学家闵柯夫斯基在四色问题上还闹出过一个笑话呢。一次闵柯夫斯基的学生跟闵柯夫斯基提及四色问题，一向谦谨的闵柯夫斯基却口出狂言：四色问题没有解决，主要是没有第一流的数学家研究它。说着便在黑板上写了起来。他竟想在课堂上证明四色问题。下课铃响了，尽管黑板上写的密密麻麻，但还是没能解决问题。第二天上课的时候，正赶上狂风大作，雷电交加，闵柯夫斯基诙谐地说：老天也在惩罚我的狂妄自大，四色问题我解决不了。
从这以后，四色问题更出名了，成了数学上最著名的难题之一。由于问题本身的简单、易懂，使几乎每个知道这个问题的人都想解决它。并且一旦接触这个问题，就有点欲罢不能的感觉（当时有人称之为“四色脖），很多人为这个问题的解决献出了毕生的精力，这其中既有数学方面的专家，也有普通的数学爱好者。我们国内也有许多人为解决这个问题努力过，中国科学院数学研究所接到的声称自己已经解决了四色问题的文章，放在一起足有好几麻袋，可惜他们的证明都有错误。
到了本世纪70年代，四色问题的研究出现了转机。美国伊利诺斯大学的阿佩尔、哈肯等人在研究了前人各种证明方法和思想的基础后，认为现在数学家手里掌握的技巧，还不足以产生一个非计算机的证明。从1972年起，他们在前人研究的基础上，开始了计算机证明的研究工作。终于在1976年彻底解决了四色问题，整个证明过程在计算机上花费了1200个小时。
四色问题虽然解决了，但数学家心中多少还留有一点遗憾。用电子计算机解决四色问题，没有创造出数学家们所期望的新方法和思想。数学家还在期待着不借助任何工具，只依靠人本身智慧的“手工证明”。青少年朋友们，你们对四色问题的手工证明有兴趣吗？如果谁有兴趣，可要千万记住，先得好好学习，掌握足够的相关知识。用锤子和斧头这样的简单工具是造不出航天飞机的！
发现无理数
毕达哥拉斯大约生于公元前580年至公元前500年，从小就很聪明，一次他背着柴禾从街上走过，一位长者见他捆柴的方法与别人不同，便说：“这孩子有数学奇才，将来会成为一个大学者。”他闻听此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯门下去求学。毕达哥拉斯本来就极聪明，经泰勒一指点，许多数学难题在他的手下便迎刃而解。其中，他证明了三角形的内角和等于180度；能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满，还证明了世界上只有五种正多面体，即：正4、6、8、12、20面体。他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数，直到毕达哥拉斯数。然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理），即：直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。据说，这是当时毕达哥拉斯在寺庙里见工匠们用方砖铺地，经常要计算面积，于是便发明了此法。
毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“凡物皆数”的观点，数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。毕达哥拉斯还在自己的周围建立了一个青年兄弟会。在他死后大约500年间，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。
一天，学派的成员们刚开完一个学术讨论会，正坐着游船出来领略山水风光，以驱散一天的疲劳。这天，风和日丽，海风轻轻的吹，荡起层层波浪，大家心里很高兴。一个满脸胡子的学者看着辽阔的海面兴奋地说：“毕达哥拉斯先生的理论一点都不错。你们看这海浪一层一层，波峰浪谷，就好像奇数、偶数相间一样。世界就是数字的秩序。”“是的，是的。”这时一个正在摇桨的大个子插进来说：“就说这小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一个精确的数字。一切事物之间都是可以用数字互相表示的。”
“我看不一定。”这时船尾的一个学者突然提问了，他沉静地说：“要是量到最后，不是整数呢？”
“那就是小数。”“要是小数既除不尽，又不能循环呢？”
“不可能，世界上的一切东西，都可以相互用数字直接准确地表达出来。”
这时，那个学者以一种不想再争辩的口气冷静地说：“并不是世界上一切事物都可以用我们现在知道的数来互相表示，就以毕达哥拉斯先生研究最多的直角三角形来说吧，假如是等腰直角三角形，你就无法用一个直角边准确地量出斜边来。”
这个提问的学者叫希帕索斯，他在毕达哥拉斯学派中是一个聪明、好学、有独立思考能力的青年数学家。今天要不是因为争论，还不想发表自己这个新见解呢。那个摇桨的大个子一听这话就停下手来大叫着：“不可能，先生的理论置之四海皆准。”希帕索斯眨了眨聪明的大眼，伸出两手，用两个虎口比成一个等腰直角三角形说：“如果直边是3，斜边是几？”
“4。”
“再准确些？”
“4.2。”
“再准确些？”
“4.24。”
“再准确些呢？”
大个子的脸涨得绯红，一时答不上来。希帕索斯说：“你就再往后数上10位、20位也不能算是最精确的。我演算了很多次，任何等腰直角三角形的一边与余边，都不能用一个精确的数字表示出来。”这话像一声晴天霹雳，全船立即响起一阵怒吼：“你敢违背毕达哥拉斯先生的理论，敢破坏我们学派的信条！敢不相信数字就是世界！”希帕索斯这时十分冷静，他说：“我这是个新的发现，就是毕达哥拉斯先生在世也会奖赏我的。你们可以随时去验证。”可是人们不听他的解释，愤怒地喊着：“叛逆！先生的不肖门徒。”
“打死他！批死他！”大胡子冲上来，当胸给了他一拳。希帕索斯抗议着：“你们无视科学，你们竟这样无理！”“捍卫学派的信条永远有理。”这时大个子也冲了过来，猛地将他抱起：“我们给你一个最高的奖赏吧！”说着就把希帕索斯扔进了海里。蓝色的海水很快淹没了他的躯体，再也没有出来。
这时，天空飘过几朵白云，海面掠过几只水鸟，一场风波过后，这地中海海滨又显得那样宁静了。
一位很有才华的数学家就这样被奴隶专制制度的学阀们毁灭了。但是这倒真使人们看清了希帕索斯的思想价值。这次事件后，毕达哥拉斯学派的成员们确实发现不但等腰直角三角形的直角边无法去量准斜边，而且圆的直径也无法去量尽圆周，那个数字是 3.14159265358979……更是永远也无法精确。慢慢地，他们感觉后悔了，后悔杀死希帕索斯的无理行动。他们渐渐明白了，明白了直觉并不是绝对可靠的，有的东西必须靠科学的证明；他们明白了，过去他们所认识的数字“0”，自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。这个名字反映了数学的本来面貌，但也真实的记录了毕达哥拉斯学派中学阀的蛮横无理。
由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。1872年，德国数学家载德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。
毕达哥拉斯学派的发现
提起“勾股定理”。人们便很容易与毕达哥拉斯联系起来，西方数学界一般把“勾股定理”叫做“毕达哥拉斯定理”。但据本世纪对于在美索不达米亚出土的楔形文字泥板书所进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前1000多年的古代巴比伦人就已经知道了这个定理。而且在中国的《周髀算经》中记述了约公元前1000年时，商高对周公姬旦的回答已明确提出“勾三、股四、弦五”。不过“勾股定理”的证明，大概还应当归功于华达哥拉斯。
传说，他在得出此定理时曾宰杀了100头牛来祭缪斯女神，以酬谢神灵的启示。缪斯是神话中掌管文艺、科学的女神。
毕达哥拉斯是科学史上最重要的人物之一，他的思想不仅影响了柏拉图，而且还一直影响到文艺复兴时期的一些哲学家和科学家。
毕达哥拉斯曾旅居埃及，后来又到各地漫游，很可能还曾去过印度。在他的游历生活中，他受到当地文化的影响，了解到许多神秘的宗教仪式，还熟悉了它们与数的知识及几何规则之间的联系。旅行结束后，他才返回家乡撒摩斯岛。由于政治的原因。他后来迁往位于南意大利的希腊港口克罗内居祝在这里创办了一个研究哲学、数学和自然科学的团体，后来便发展成为一个有秘密仪式和严格戒律的宗教性学派组织。
毕氏学派认为，对几何形式和数字关系的沉思能达到精神上的解脱，而音乐却被看作是净化灵魂从而达到解脱的手段。
有许多关于毕达哥拉斯的神奇传说。如，他在同一时间会出现在两个不同的地方，被不同的人看到；还有传说，当他过河时，河神站起身来向他问候：“你好啊，毕达哥拉斯”；还有人说，他的一条腿肚子是金子做的。毕达哥拉斯相信人的灵魂可以转生，有人为了嘲弄他的宗教教义而传言，一次当他看到一只狗正遭人打时，他便说：别打了，我从他的声音中已认出，我朋友的灵魂是附在了这条狗身上了。
如果有人要想加入毕氏团体，就必须接受一段时期的考验，经过挑选后才被允许去听坐在帘子后面的毕达哥拉斯的讲授。只有再过若干年后当他们的灵魂因为受音乐的不断熏陶和经历贞洁的生活而变得更加纯净时，才允许见到毕达哥拉斯本人。他们认为，经过纯化并进入和谐及数的神秘境界，可以使灵魂趋近神圣而从轮回转生中得到解脱。
毕氏学派企图用数来解释一切，不仅万物都包含数，而且认为万物就是数。他们发现，数是音乐和谐的基矗当一根琴弦被缩短到原来长度的一半时，拨动琴弦，音调将提高8度；比率为3∶2和4∶3时，相对应的是高5度和高4度的和声。和声就是由这样一些不同的部分组成的整体。他们认为，正是由于各种事物的数值比确定了它们分别是什么，并显示出彼此之间的关系。
毕氏学派在哲学上与印度古代哲学有相类似之处。都是把整数看作是人和物的各种性质的起因，整数不仅从量的方面而且在质方面支配着宇宙万物。他们对数的这种认识和推崇，促使他们热衷于研究和揭示整数的各种复杂性质，以期来左右和改变自己的命运。
他们对整数进行了分类。如整数中包含有奇数、偶数、质数、亲和数及完全数等等。
他们注意到整数48可以被2、3、4、6、8、12、16、24、整除，这8个数都是48的因子，这些因子的和是75；奇妙的是75的因子有3、5、15、25，而它们的和又恰好是48。48与75这一对数叫做“半亲和数”。不难验算出140与195也是一对半亲和数。考虑到1是每个整数的因子，把除去整数本身之外的所有因子叫做这个数的“真因子”。如果两个整数，其中每一个数的真因子的和都恰好等于另一个数，那么这两个数，就构成一对“亲和数”。
220与284是毕达哥拉斯最早发现的一对亲和数，同时也是最小的一对亲和数。因为220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，而它们的和是284。284的真因子是1、2、4、71、142，其和恰好是220。有人曾经把亲和数用于魔术、法术、占星学和占卦上，使它带有迷信和神秘的色彩。如认为若两个人都佩带上分别写着这两个数的护符，就一定保持良好的友谊，这当然是非常滑稽可笑的。
有趣的是，后来人们总保持着对亲和数研究的兴趣。1636年，法国数学家费马发现了第二对亲和数，它们是17962与18416。两年后笛卡儿找出了第三对亲和数。瑞士的大数学家欧拉曾系统地去寻找亲和数，1747年他一下子找出了30对，3年后他又把亲和数增加到了60对。令人惊奇的是，除去220与284之外最小的一对亲和数1184与1210竟然被这些数学大师们漏掉了。它被一个16岁的意大利男孩帕加尼尼在1886年发现。至今，已经知道的亲和数已有1000对以上。
更有趣的是人们还发现了亲和链：
2115324，3317740；
3649556，2797612。
由于第一个数的因子之和是第二个数，第二个数的因子之和是第三个数……第四个数的因子之和又恰好是第一个数，它们是一个四环亲和链。一些构成亲和链的数，只要给出其中的一个，便可以计算出其他的数。如 12496与其他四个数构成一个五环亲和链。有计算器的读者不妨试算一下，补上其余的四个数。
其他与占卦臆测有联系的是完全数。完全数的真因子之和是它自己，就好像自己和自己是“一对”亲和数。最小的完全数是6=1+2+3。毕氏信徒们认为，数具有象征性的含义。例如，4是公正或报应的数，表示不偏不倚。
上天创造世界，6就是个完全数。整个人类是诺亚方舟上的神灵下凡，这一创造是不完善的，因为8不是完全数，它大于它的真因子和：1+2+4。像4、8这样的数叫做亏数。相反凡小于其因子和的整数叫做盈数。
最小的三个完全数是6，28，496。直到1952年人们才发现12个完全数。
n
欧几里德的《原本》第九卷的最后一个命题是，证明：如果2-1是一个质数， n n则2-1（2-1）是一个完全数。由这个公式所给出的完全数都是偶数。后来大数学家欧拉证明了每一个偶完全数必定是这种形式的。人们自然会问，是否还有其他的完全数？即有没有奇完全数？但至今还没有人能够回答这个问题。
1952年，借助SWAC数字计算机，又发现了五个完全数：1957年用瑞士的BESK计算机发现了另外一个；后来有人用IBM7090计算机又发现了两个。
至今为止已知道的完全数已有27个。毕氏学派是一个带有神秘色彩的宗教性组织，但是他们对于数学的研究确实作出了重大贡献。由于华达哥拉斯的讲授都是口头的，按照他们的习惯，对于各种发现或发明都不署个人姓名，而是都归功于其尊敬的领导者，所以很难辨别出他们研究的成果究竟是由谁来完成的。毕氏学派后来在政治斗争中遭到失败，毕达哥拉斯逃到塔林敦后，终于还是被杀害。他死后，他的学派的影响却仍然很大，其学派又延续了200年之久。
勾股定理
勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。可是，我国周朝初年（约公元前1100年）的数学家商高早就讲到过“勾广三，股修四，径隅五”，这实际上就是勾股定理的一个特例。根据我国史书记载，早在公元前五六世纪，就用过勾方加股方等于弦方的公式，不过没有证明过程。我国对勾股定理认识的发展是在西汉时期。这一时期的研究既有理论又有应用，在《九章算术》中有详细的记载。而定理的证明，三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》进行了详细的记述。
赵爽在这本书中，画了一个弦图：两个全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）。
赵爽释注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。”开方除之 2 2 2是当时开方运算的术语。上面这句话实际上就是勾股定理即：a+b=c。他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四。以勾股之差自相乘中黄实。加差实亦成弦实。”
2 2
即2ab+（b-a）=c
2 2 2
化简便得出：a+b=c
这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个。
勾股定理作为几何学中一条重要的定理，古往今来，有无数人探索过它的证明方法。据说，它的证明方法有500来种。我国在清朝初年有一位数学家叫梅文鼎（1633～1712年），他发明的一种证法极为简便，只需用一张硬纸，剪上几剪刀，一拼就可证明出来，读者如有兴趣不妨试一试。在 1940年，一本名为《毕达哥拉斯命题》的书中，就专门搜集了367个不同的证法。
其中有一个证法最令人感兴趣，它是由一位美国总统作出的！
根据当代著名数学科普作家马钉加德纳的报道，1876年4月1日，波士顿出版的一本周刊《新英格兰教育杂志》上刊出了勾股定理的一个别开生面的证法，编者注明资料是由俄亥俄州共和党议员詹姆土·A·加菲尔德提供的，是他和其他几位议员一起做数学游戏时想出来的，并且得到了两党议员的一致同意。后来，加菲尔德被选为美国总统。于是他的证明也就成为人们津津乐道的一段珍闻轶事了（据说这是美国总统对数学的唯一贡献）。
加菲尔德的证法的确十分干净利落。作直角三角形ABC，设其边长分别为BA=c是斜边，AC=b，BC=a。作AE⊥BA，并使AE=BA，再延长CA到D，使AD=BC=a，连D、E，则四边形CBED梯形， 1 1其面积等于 DC(BC 2 2求证△DAE与△CBA是全等三角形，于是△DAE、△CBA与△ABE的面 1 ab积之和等于 C2 2 c由于三个三角形面积之和即是梯形的面积，因此可得出等式： 1 1 (a 2 2 2 2 2化简后即得等式：a+b=c这样勾股定理便得到证明。
人们在研究勾股定理时还发现一个有趣现象。古巴比伦人就知道三条边为下列各数的一些三角形： 120，119，169； 3456，3367，4825； 4800，4601，6649； 13500，12709，18541； 72，65，96； 360，319，481； 2700，2291，2541；960，799，1249； 600，481，769； 6480，4961，8161； 60，45，75； 2400，1697，2929； 240，161，289； 2700，1771，3229； 90，56，106。
以上每个数组中的数，我们称为勾股数。
一般说来，如果正数x，y，z能满足下列不定方程 2 2 2 x+y=z（1）则这些整数叫做勾股数。
那么怎样求出勾股数呢？我们再观察几个简单的直角三角形的边： 3，4，5；5，12，13； 7，24，25；9，40，41； 11，60，61；13，84，85；……从这些数中，可发现以下规律：第一个数是奇数，第二个数是第一个数的平方减1再除以2，第三个数是第一个数的平方加1再除以2，即设m为奇数，则一般会有： m2 m2 2 2于是就有 m2 m2 2 2其中m为奇数。
但这只是一部分勾股数的规律。
（2）式两边同乘以4，则变形得：
2 2 2 2 2
（2m）+（m-1）=（m+1）（3）
很显然（3）式不论m是奇数还是偶数，等式都能成立。
然而由（3）式仍不能得到全部的勾股数。
那么怎样才能得到全部的勾股数呢？在公式（3）中，m为任意自然数，1是一个特殊的自然数，若它也变成任意自然数，设它变成n，为了使（3） 2 2式保持恒等，（3）中的第一项（2m）应变成（2mn），则有 2 2 2 2 2 2 2（2mn）+（m-n）=（m+n）（4）其中m＞n，（m，n）=1且m除以n的余数不等于2。
那么，可以证明出式（4）包括了全部勾股数。对于勾股定理的深入研究，人们不仅要问 n n n x+y=x（5）其中n＞2，n是自然数。（5）式是否也有正整数解呢？这就是到现在还仍未解决的“费马猜想”。
通过上面的介绍，各位读者是否觉得勾股定理十分有趣呢？
欧几里得妙法
数论与几何学一样，是最古老的数学分支。欧几里得的《几何原本》的七、八、九章，讲的就是数论。
对于素数的研究，在数论中占有很重要的位置。
我们知道，正整数是由 1、素数（也叫质数）与合数这三类数组成的。
一个大于1的正整数，如果只能被1和它本身整除，不能被其他正整数整除，这样的正整数就叫做素数；否则就叫做合数。在整数 1、2、3、4、……中，去掉1与全部合数，所得的表： 2，3，5，7，11，13，17，称为素数表。在素数表中，除了第一个素数2，其余都是奇素数。现在世界上最好的素数表是查基尔编的，列有大不大于50000000（五千万）的素数。
关于素数，最古老的问题是：素数有多少个？欧几里得在《几何原本》中，最先证明了素数有无穷多个。他的巧妙的证明方法，闪耀着智慧的光辉。
2000多年来，人们虽也提出过一些别的证法，但是直到今天，还是欧几里得的证明方法最好。
欧几里得证明素数有无穷多个的方法，大意是：假若素数只有有限多个，设最大的一个是P，从2到P的全体素数是： 2，3，5，7，11……，P。
所有的素数都在这里，此外再没有别的素数了。
现在，我们来考察上面从2到P的全体素数相乘、再加上1这个数，设它是A，即 A=2×3×5×7×11×……×P+1。
A是一个大于1的正整数，它不是素数，就是合数。
如果A是素数，那么，就得到了一个比素数P还要大的素数，这与素数P是最大素数的假设矛盾。
如果A是合数，那么，它一定能够被某个素数整除，设它能被g整除。
因为A被从2到P的任何一个素数除，余数都是1，就是都不能整除，而素数g是能整除A的，所以素数g不在从2到P的全体素数之中。这说明素数g是一个比素数P更大的素数，这又与P是最大的素数的假设矛盾。
上面的证明否定了素数只有有限多个的假定，这就证明了素数是无穷多个。
这个证明的构思非常巧妙，它的基本思路是：既然对于无论多大的素数，都一定有比它更大的素数，那当然素数就是无穷多个了。
素数虽然有无穷多个，但是在自然数中，它是排列得相当稀的。人们证明了这样一个道理：无论给定一个多大的正整数，比方说100亿万，一定能找到一个正整数，在这个正整数中，一个素数也没有。如果你不是说100万，而是说100亿万，这个结论也成立。
这个定理的证明，在构思上与证明素数无穷相象。
素数虽然有无穷多个，但人们能具体写出来的，总是有限个。因此，找一个比现在所知道的最大素数更大的素数，是人们经常探讨的难题之一。
素数类型
在对素数的长期研究中，有几种类型的素数特别受到重视，这里介绍两种素数的类型Rn与Mn。
Rn
n个1
是一个n位数，n位都是1。R如果是素数，就称为R型的素数，例如 n nR=11就是R型的素数。显然，如果R是素数，n必定是素数。
2 n n
这样的素数一共发现了四个，即R，R，R，R。从发现R到发现 2 19 23 317 23R，中间经历了50年的时间。R，这个素数，是1978年初，由加拿大数 317 317学教授威廉斯证明的。他在检验R不可能有任何别的素数因子时，是用计 317算机来检验的。现在研究数论，大量的计算都是用电子计算机来完成的。
目前，人们猜想下一个Rn型的素数是R。
1031
R
凡是形状是2-1的数记作Mn，叫做麦什涅数，如果是素数，就叫做麦什涅素数。例如M=3，M=7，M=31等是麦什涅素数。
2 3 5
人们证明了：如果Mp是麦什涅素数，p一定是素数。但是，不能认为p 11是素数，Mp就是麦什涅素数。例如M=2-1=2047=23×89，就不是麦什涅素 11数。
1978年底，美国加利福尼亚大学的两个学生尼克尔和诺尔，利用电子计 21701算机证明了M是素数。M =2 -1，是当时能写出来、并且能加以证 21701 2170明的最大素数。
我国在报导这一素数时，曾有过这么一段故事： 1978年11月21日，我国有报纸刊登了：“[法新社美国加州赫沃兹十一月十五日电]两位美国学生发现了最大的 21701已知质数2。”
报纸出版没几天，这家报纸的编辑部和很多科技报刊以及许多大学的数学系，就收到了大量的群众来信，内容主要是指出： 21701 2肯定是合数（2的倍数），怎么能是素数呢？
21701
后来，有的报刊更正说，新发现的最大已知素数，应该是2 -1，报 21701纸上把2 -1的“-1”都丢了。
紧接着，一些数学教师就围绕着这个数据，出了一些供青少年解答的有趣的数学题目。比如 21701 2 -1有多少位？头两位与末两位各是什么数？（答：有6533位；头两位是44，末两位是51。） 21701 m n 2 +1是素数吗？你能不能证明：若2+1是素数，则m=2。
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到1979年底为止，人们已知的最大素数是2 -1。
值得注意的是：数学家在判断具体的Rn、Mn和Fn是不是素数时，虽然一般都要借助于大型电子计算机，但是困难的研究工作，还得靠人来完成。
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例如，有人已经证明了2 +1（即F=2+1）是一个合数，可是无论 14用现有的什么样的计算机，也找不出它的任何一个因子来。因为人们还没有把这个问题，转化到计算机能帮得上忙的程度。
圆面积求法
怎样求圆面积？这已是一个非常简单的问题，用公式一算，结论就出来了。可是你可知道这个公式是怎样得来的吗？在过去漫长的年代里，人们为了研究和解决这个问题，不知遇到了多少困苦，花费了多少精力和时间。
在平面图形中，以长方形的面积最容易计算了。用大小一样的正方形砖铺垫长方形地面，如果横向用八块，纵向用六块，那一共就用了8×6=48块砖。所以求长方形面积的公式是：长×宽。
求平行四边形的面积，可以用割补的方法，把它变成一个与它面积相等的长方形。长方形的长和宽，就是平行四边形的底和高。所以求平行四边形面积的公式是：底×高。
求三角形的面积，可以对接上一个和它全等的三角形，成为一个平行四边形。这样，三角形的面积，就等于和它同底同高的平行四边形面积的一半。
因此，求三角形面积的公式是：
1
×底×高。
2
任何一个多边形，因为可以分割成若干个三角形，所以它的面积，就等于这些三角形面积的和。
2
4000多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一个正方形，占地52900m。
它的底座边长和角度计算十分准确，误差很小，可见当时测算大面积的技术水平已经很高。
圆是最重要的曲边形。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形。怎样求圆的面积，是数学对人类智慧的一次考验。
也许你会想，既然正方形的面积那么容易求，我们只要想办法做出一个正方形，使它的面积恰好等于圆面积就行了。是啊，这样的确很好，但是怎样才能做出这样的正方形呢？
你知道古代三大几何难题吗？其中的一个，就是刚才讲到的化圆为方。
这个起源于古希腊的几何作图题，在2000多年里，不知难倒了多少能人，直到19世纪，人们才证明了这个几何题，是根本不可能用古代人的尺规作图法作出来的。
化圆为方这条路行不通，人们不得不开动脑筋，另找出路。
我国古代的数学家祖冲之，从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加，用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。
古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。
古印度的数学家，采用类似切西瓜的办法，把圆切成许多小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形的面积去代替圆面积。
众多的古代数学家煞费苦心，巧妙构思，为求圆面积作出了十分宝贵的贡献。为后人解决这个问题开辟了道路。
16世纪的德国天文学家开普勒，是一个爱观察、肯动脑筋的人。他把丹麦天文学家第谷遗留下来的大量天文观测资料，认真地进行整理分析，提出了著名的“开普勒三定律”。开普勒第一次告诉人们，地球围绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳位于其中的一个焦点上。
开普勒当过数学老师，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度，他们不断地增加分割的次数。但是，不管分割多少次，几千几万次，只要是有限次，所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分成无穷多等分才行。
开普勒也仿照切西瓜的方法，把圆分割成许多小扇形；不同的是，他一开始就把圆分成无穷多个小扇形。
因为这些扇形太小了，小弧AB也太短了，所以开普勒就把小弧AB和小弦AB看成是相等的，即AB = AB。
1
小扇形AOB的面积=小三角形AOB的面积= R×AB。
2
圆面积等于无穷多个小扇形面积的和，所以 1 1 1圆面积S = R×AB 2 2 2 1 2在最后一个式子中，各段小弧相加就是圆的周长2πR，所以有 1 S = R×2 2这就是我们所熟悉的圆面积公式。
开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615年，他将自己创造的这种求圆面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。
开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，并果敢地断言：无穷小的扇形面积，和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上，向前迈出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲流传开了。数学家们高度评价开普勒的工作，称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉。
一种新的理论，在开始的时候很难十全十美。开普勒创造的求圆面积的新方法，引起了一些人的怀疑。他们问道：开普勒分割出来的无穷多个小扇形，它的面积究竟等于不等于零？如果等于零，半径OA和半径OB就必然重合，小扇形OAB就不存在了；如果客观存在的面积不等于零，小扇形OAB与小三角形OAB的面积就不会相等。开普勒把两者看作相等就不对了。
面对别人提出的问题，开普勒自己也解释不清。
卡瓦利里是意大利物理学家伽利略的学生，他研究了开普勒求圆面积方法存在的问题。
卡瓦利里想，开普勒把圆分成无穷多个小扇形，这每个小扇形的面积到底等不等于圆面积，就不好确定了。但是，只要小扇形还是图形，它是可以再分的呀。开普勒为什么不再继续分下去了呢？要是真的再细分下去，那分到什么程度为止呢？这些问题，使卡瓦利里陷入了沉思之中。
有一天，当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时，他忽然灵机一动：唉，布不是可以看成为面积嘛！布是由棉线织成的，要是把布拆开的话，拆到棉线就为止了。我们要是把面积像布一样拆开，拆到哪儿为止呢？应该拆到直线为止。几何学规定直线没有宽度，把面积分到直线就应该不能再分了。于是，他把不能再细分的东西叫做“不可分量”。棉线是布的不可分量，直线是平面面积的不可分量。
卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题。他想，可以把长方体看成为一本书，组成书的每一页纸，应该是书的不可分量。这样，平面就应该是长方体体积的不可分量。几何学规定平面是没有薄厚的，这样也是有道理的。
卡瓦利里紧紧抓住自己的想法，反复琢磨，提出了求圆面积和体积的新方法。
1635年，当《葡萄酒桶的立体几何》一书问世20周年的时候，意大利出版了卡瓦利里的《不可分量几何学》。在这本书中，卡瓦利里把点、线、面，分别看成是直线、平面、立体的不可分量；把直线看成是点的总和，把平面看成是直线的总和，把立体看成是平面的总和。
卡瓦利里还根据不可分量的方法指出，两本书的外形虽然不一样，但是，只要页数相同，薄厚相同，而且每一页的面积也相等，那么，这两本书的体积就应该相等。他认为这个道理，适用于所有的立体，并且用这个道理求出了很多立体的体积。这就是有名的“卡瓦利里原理。”
事实上，最先提出这个原理的，是我国数学家祖。比卡瓦利里早1000多年，所以我们叫它“祖原理”或者“祖定理”。
阿贝尔与n次方程的代数解
同学们学过一元一次方程
ax=b（a≠0）
b
它的代数解是：x =（a≠0）
a
2
又学了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）它的代数解（用方程的系数经过若干次代数运算而得到表示根的式子，叫做方程的代数解）是： x 2ab这个求根公式看来很简单，也很容易学，但同学们可知道它的发现过程却经历了漫长的历史吗？
公元前2000年左右巴比伦人的泥板文书中说，求出一个数，使它与它的倒数的和等于一个已知数，即求出这样的一对数x和x，使 xx = 1且xx = b，由此得出关于x的方程是 2 x-bx+1=0 b2 b 2他们作出（），再作出 ( ) 2 2 b b2 x = 2 2 b b x 2 2这实际上是古巴比伦人得到的求根公式。但是当时不承认负数的存在，所以他们回避了负根。
希腊的丢番图（约前246～330）则只承认一个正根，即使两个都是正根，也只取一个。
印度的波罗及摩及（约公元598～665）在公元628年写成的《波罗摩修正体系》中，得到方程 2 x+Px-q=0的一个根的求根公式是 2 P x 2到了9世纪乌兹别克数学家花刺子模（约公元780～850）在他的《代数学》中第一次给出了一般的一元二次方程的解法，他承认有两个根，还允许无理根的存在，但他不认识虚数，所以不承认虚根。
法国数学家韦达（1540～1603）则知道一元二次方程在复数范围内恒有解。
我国数学家对一元二次方程的研究有特殊的贡献。秦汉时代的《九章算 2术》就有求方程x+34x-7100=0的正根记载。
2
在3世纪，赵爽（约公元222年）注释《周髀算经》时，提出了x-bx+c=0型的求根公式。也是世界上最早记录了二次方程的求根公式。
一般的三次方程的代数解的表达形式经历了800年之久，到了16世纪初，欧洲文艺复兴时代，才由意大利数学家给出。下面的三次方程的代数解公式，一般称为卡丹（1501～1576）公式： 3 2方程x+px+q=0的三个根是y+z，wy+wz，wy+wz， 1 1 1 21 1 1 3 q q2 p3 q q2 p3 q（其中y 2 4 27 2 4 27 3 2 w2 2其实，发现这个公式的并不是卡丹。原来这里还有一段诱人深思的故事呢！
3
在意大利的波伦亚城有一位数学教授费洛，他首先发现了方程 x+mx=n（m，n为正数）的解法，并于1505年把此方法传授给他的学生弗罗里都斯。
到了1525年，在意大利的威尼斯城举行了一次数学竞赛会，弗罗里都斯的对手塔尔塔里亚已经估计到对方会提出求解三次方程的问题，所以他就全力以赴的研究这个问题，他在比赛前的8天里以惊人的速度解决了800多年来没有解决的问题。在比赛过程，塔氏在两小时内解答了弗氏提出的30个问题，而最终取得了比赛的胜利，而弗氏却以回答不出塔氏的问题而宣告失败。
在这之后，塔氏更是专心致志的研究三次方程的问题，到1541年，他便找到了一般三次方程的代数解。这时卡丹请求塔氏告诉他这个公式，并保证不泄露秘密，于是塔氏便满足了卡丹的要求。但卡丹并没有遵守诺言，在1545年，卡丹在他的《大法》一书中公布了这个解法，所以就一直被误认为是卡丹公式，如果这个故事是真的，卡丹的为人品德也真是令人讨厌！
就在《大法》这本书里，卡丹还公布了他的学生费拉里发现的一般四次方程的代数解。
从二次方程到四次方程，人们通过变换，配方和因式分解等手段解决了一般的二、三、四次方程的代数解问题。例如： b aX2 + bX + c = 0，将X = Y -代入可求出代数解； 2a b aX3 + bX2 + cX + d = 0，将X = Y -代入可求出代数解； 3a b 4 3 2 aX + bX + cX c + dX + e = 0，将X = Y -代入可求出代数解。
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于是人们类比联想：一般的n（n≥5）次方程可能求出它的代数解。
从16世纪中叶到19世纪末，当时几乎所有的数学家都坚持不懈地研究这个问题，人们发挥了一切聪明才智，但都没有找到解决问题的办法。
于是人们考虑重新认识这个问题，并且从反面提出问题：“一般n（n≥5）次方程可能没有代数解”，而且持有这种怀疑的人越来越多。
拉格朗日（1736～1813）在回忆录中写道：“用根号解四次以上的方程的问题是一个不可能解决的问题，虽然，关于解法的不可能性，什么也没有证明。”高斯（1777～1855）在1801年的《专题论文》中也说过，这个问题也许是不能解决的问题。
拉格朗日有一个学生叫鲁菲尼在1799～1813年之间，曾经多次企图证明n（n≥5）次方程没有代数解，但都没有成功，直到1824年，22岁的挪威数学家阿贝尔（1802～1829）证明了这个猜想：“n（n≥5）次方程没有代数解”。
值得指出的是，阿贝尔虽然只活了26年零8个月，但在数学上的贡献是巨大的，正如一位数学家所说：“阿贝尔留下了一些思想，可供数学家们工作150年。”他在1823年发表第一篇论文，最先提出对一种积分方程的解法。
1824年发表了上述定理的证明，寄给高斯，没有受到重视（当时他的定理的叙述是：高于四次带有任意文字系数的方程不可能用代数一般的解法），1825～1826年，阿贝尔去柏林，在那里结识了工程师、数学家A·L·克列尔，成为他的知交和良师，并在克列尔创办的《纯粹数学与应用数学》杂志第一卷（1826年）上发表阿贝尔关于五次方程研究的详尽内容，当然还有其他方面的论文。
为什么人们经过这么长时间的努力，才证明了“n（n≥5）次的方程没有代数解呢”？是否同不能正确地提出问题和认识问题有关呢？如果能较早地从反面提出问题，也许这个问题的解决会缩短一些时间呢！这个问题是否也给我们这样一个启示：当从正面考虑问题不得其解时，可从反面去思考和研究，这正是“正难则反”的思维策略！
令人着迷的四色问题
同学们，让我们来做这样一个试验：给地图着色。在我国的地图上，给每个盛直辖市涂上一种颜色，要求相邻的省或直辖市有不同的颜色，最少需要几种颜色就足够了？答案是四种！再让我们来看看在世界地图上，用不同的颜色区分开相邻的国家，最少用几种颜色就足够了？答案还是四种。
我们上边做的给地图着色的实验，100多年前就已经有人做过了。大约在1850年，英国伦敦大学的学生居特里偶然发现：要区分英国地图上的州，有四种颜色就够了。他把这个发现告诉了弟弟，哥儿俩又进行了大量这方面的实验，发现有些地图用3种颜色，有些地图用4种颜色，但最多用4种颜色足以把共同边界的两个国家（或地区）区分开，即把相邻的国家涂上不同的颜色。居特里相信这个发现是正确的，但他证明不了。于是去请教他的老师，他的老师也不能证明这个问题。后来在1878年，当时英国的数学权威凯利在伦敦数学会上正式提出了这个问题。这个问题被称为四色问题。
四色问题提出以后，吸引了许多人。不断有人声称自己已经解决了四色问题，但都被人找出了证明过程中的错误。四色问题的影响越来越大，更多的人热衷于这个问题，这期间有人证明了“五色定理”，即给地图着色，用5种颜色就可以把相邻的国家（或地区）区分开，但四色问题仍没有人能够解决。
著名的大数学家闵柯夫斯基在四色问题上还闹出过一个笑话呢。一次闵柯夫斯基的学生跟闵柯夫斯基提及四色问题，一向谦谨的闵柯夫斯基却口出狂言：四色问题没有解决，主要是没有第一流的数学家研究它。说着便在黑板上写了起来。他竟想在课堂上证明四色问题。下课铃响了，尽管黑板上写的密密麻麻，但还是没能解决问题。第二天上课的时候，正赶上狂风大作，雷电交加，闵柯夫斯基诙谐地说：老天也在惩罚我的狂妄自大，四色问题我解决不了。
从这以后，四色问题更出名了，成了数学上最著名的难题之一。由于问题本身的简单、易懂，使几乎每个知道这个问题的人都想解决它。并且一旦接触这个问题，就有点欲罢不能的感觉（当时有人称之为“四色脖），很多人为这个问题的解决献出了毕生的精力，这其中既有数学方面的专家，也有普通的数学爱好者。我们国内也有许多人为解决这个问题努力过，中国科学院数学研究所接到的声称自己已经解决了四色问题的文章，放在一起足有好几麻袋，可惜他们的证明都有错误。
到了本世纪70年代，四色问题的研究出现了转机。美国伊利诺斯大学的阿佩尔、哈肯等人在研究了前人各种证明方法和思想的基础后，认为现在数学家手里掌握的技巧，还不足以产生一个非计算机的证明。从1972年起，他们在前人研究的基础上，开始了计算机证明的研究工作。终于在1976年彻底解决了四色问题，整个证明过程在计算机上花费了1200个小时。
四色问题虽然解决了，但数学家心中多少还留有一点遗憾。用电子计算机解决四色问题，没有创造出数学家们所期望的新方法和思想。数学家还在期待着不借助任何工具，只依靠人本身智慧的“手工证明”。青少年朋友们，你们对四色问题的手工证明有兴趣吗？如果谁有兴趣，可要千万记住，先得好好学习，掌握足够的相关知识。用锤子和斧头这样的简单工具是造不出航天飞机的！
发现无理数
毕达哥拉斯大约生于公元前580年至公元前500年，从小就很聪明，一次他背着柴禾从街上走过，一位长者见他捆柴的方法与别人不同，便说：“这孩子有数学奇才，将来会成为一个大学者。”他闻听此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯门下去求学。毕达哥拉斯本来就极聪明，经泰勒一指点，许多数学难题在他的手下便迎刃而解。其中，他证明了三角形的内角和等于180度；能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满，还证明了世界上只有五种正多面体，即：正4、6、8、12、20面体。他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数，直到毕达哥拉斯数。然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理），即：直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。据说，这是当时毕达哥拉斯在寺庙里见工匠们用方砖铺地，经常要计算面积，于是便发明了此法。
毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“凡物皆数”的观点，数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。毕达哥拉斯还在自己的周围建立了一个青年兄弟会。在他死后大约500年间，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。
一天，学派的成员们刚开完一个学术讨论会，正坐着游船出来领略山水风光，以驱散一天的疲劳。这天，风和日丽，海风轻轻的吹，荡起层层波浪，大家心里很高兴。一个满脸胡子的学者看着辽阔的海面兴奋地说：“毕达哥拉斯先生的理论一点都不错。你们看这海浪一层一层，波峰浪谷，就好像奇数、偶数相间一样。世界就是数字的秩序。”“是的，是的。”这时一个正在摇桨的大个子插进来说：“就说这小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一个精确的数字。一切事物之间都是可以用数字互相表示的。”
“我看不一定。”这时船尾的一个学者突然提问了，他沉静地说：“要是量到最后，不是整数呢？”
“那就是小数。”“要是小数既除不尽，又不能循环呢？”
“不可能，世界上的一切东西，都可以相互用数字直接准确地表达出来。”
这时，那个学者以一种不想再争辩的口气冷静地说：“并不是世界上一切事物都可以用我们现在知道的数来互相表示，就以毕达哥拉斯先生研究最多的直角三角形来说吧，假如是等腰直角三角形，你就无法用一个直角边准确地量出斜边来。”
这个提问的学者叫希帕索斯，他在毕达哥拉斯学派中是一个聪明、好学、有独立思考能力的青年数学家。今天要不是因为争论，还不想发表自己这个新见解呢。那个摇桨的大个子一听这话就停下手来大叫着：“不可能，先生的理论置之四海皆准。”希帕索斯眨了眨聪明的大眼，伸出两手，用两个虎口比成一个等腰直角三角形说：“如果直边是3，斜边是几？”
“4。”
“再准确些？”
“4.2。”
“再准确些？”
“4.24。”
“再准确些呢？”
大个子的脸涨得绯红，一时答不上来。希帕索斯说：“你就再往后数上10位、20位也不能算是最精确的。我演算了很多次，任何等腰直角三角形的一边与余边，都不能用一个精确的数字表示出来。”这话像一声晴天霹雳，全船立即响起一阵怒吼：“你敢违背毕达哥拉斯先生的理论，敢破坏我们学派的信条！敢不相信数字就是世界！”希帕索斯这时十分冷静，他说：“我这是个新的发现，就是毕达哥拉斯先生在世也会奖赏我的。你们可以随时去验证。”可是人们不听他的解释，愤怒地喊着：“叛逆！先生的不肖门徒。”
“打死他！批死他！”大胡子冲上来，当胸给了他一拳。希帕索斯抗议着：“你们无视科学，你们竟这样无理！”“捍卫学派的信条永远有理。”这时大个子也冲了过来，猛地将他抱起：“我们给你一个最高的奖赏吧！”说着就把希帕索斯扔进了海里。蓝色的海水很快淹没了他的躯体，再也没有出来。
这时，天空飘过几朵白云，海面掠过几只水鸟，一场风波过后，这地中海海滨又显得那样宁静了。
一位很有才华的数学家就这样被奴隶专制制度的学阀们毁灭了。但是这倒真使人们看清了希帕索斯的思想价值。这次事件后，毕达哥拉斯学派的成员们确实发现不但等腰直角三角形的直角边无法去量准斜边，而且圆的直径也无法去量尽圆周，那个数字是 3.14159265358979……更是永远也无法精确。慢慢地，他们感觉后悔了，后悔杀死希帕索斯的无理行动。他们渐渐明白了，明白了直觉并不是绝对可靠的，有的东西必须靠科学的证明；他们明白了，过去他们所认识的数字“0”，自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。这个名字反映了数学的本来面貌，但也真实的记录了毕达哥拉斯学派中学阀的蛮横无理。
由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。1872年，德国数学家载德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。
毕达哥拉斯学派的发现
提起“勾股定理”。人们便很容易与毕达哥拉斯联系起来，西方数学界一般把“勾股定理”叫做“毕达哥拉斯定理”。但据本世纪对于在美索不达米亚出土的楔形文字泥板书所进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前1000多年的古代巴比伦人就已经知道了这个定理。而且在中国的《周髀算经》中记述了约公元前1000年时，商高对周公姬旦的回答已明确提出“勾三、股四、弦五”。不过“勾股定理”的证明，大概还应当归功于华达哥拉斯。
传说，他在得出此定理时曾宰杀了100头牛来祭缪斯女神，以酬谢神灵的启示。缪斯是神话中掌管文艺、科学的女神。
毕达哥拉斯是科学史上最重要的人物之一，他的思想不仅影响了柏拉图，而且还一直影响到文艺复兴时期的一些哲学家和科学家。
毕达哥拉斯曾旅居埃及，后来又到各地漫游，很可能还曾去过印度。在他的游历生活中，他受到当地文化的影响，了解到许多神秘的宗教仪式，还熟悉了它们与数的知识及几何规则之间的联系。旅行结束后，他才返回家乡撒摩斯岛。由于政治的原因。他后来迁往位于南意大利的希腊港口克罗内居祝在这里创办了一个研究哲学、数学和自然科学的团体，后来便发展成为一个有秘密仪式和严格戒律的宗教性学派组织。
毕氏学派认为，对几何形式和数字关系的沉思能达到精神上的解脱，而音乐却被看作是净化灵魂从而达到解脱的手段。
有许多关于毕达哥拉斯的神奇传说。如，他在同一时间会出现在两个不同的地方，被不同的人看到；还有传说，当他过河时，河神站起身来向他问候：“你好啊，毕达哥拉斯”；还有人说，他的一条腿肚子是金子做的。毕达哥拉斯相信人的灵魂可以转生，有人为了嘲弄他的宗教教义而传言，一次当他看到一只狗正遭人打时，他便说：别打了，我从他的声音中已认出，我朋友的灵魂是附在了这条狗身上了。
如果有人要想加入毕氏团体，就必须接受一段时期的考验，经过挑选后才被允许去听坐在帘子后面的毕达哥拉斯的讲授。只有再过若干年后当他们的灵魂因为受音乐的不断熏陶和经历贞洁的生活而变得更加纯净时，才允许见到毕达哥拉斯本人。他们认为，经过纯化并进入和谐及数的神秘境界，可以使灵魂趋近神圣而从轮回转生中得到解脱。
毕氏学派企图用数来解释一切，不仅万物都包含数，而且认为万物就是数。他们发现，数是音乐和谐的基矗当一根琴弦被缩短到原来长度的一半时，拨动琴弦，音调将提高8度；比率为3∶2和4∶3时，相对应的是高5度和高4度的和声。和声就是由这样一些不同的部分组成的整体。他们认为，正是由于各种事物的数值比确定了它们分别是什么，并显示出彼此之间的关系。
毕氏学派在哲学上与印度古代哲学有相类似之处。都是把整数看作是人和物的各种性质的起因，整数不仅从量的方面而且在质方面支配着宇宙万物。他们对数的这种认识和推崇，促使他们热衷于研究和揭示整数的各种复杂性质，以期来左右和改变自己的命运。
他们对整数进行了分类。如整数中包含有奇数、偶数、质数、亲和数及完全数等等。
他们注意到整数48可以被2、3、4、6、8、12、16、24、整除，这8个数都是48的因子，这些因子的和是75；奇妙的是75的因子有3、5、15、25，而它们的和又恰好是48。48与75这一对数叫做“半亲和数”。不难验算出140与195也是一对半亲和数。考虑到1是每个整数的因子，把除去整数本身之外的所有因子叫做这个数的“真因子”。如果两个整数，其中每一个数的真因子的和都恰好等于另一个数，那么这两个数，就构成一对“亲和数”。
220与284是毕达哥拉斯最早发现的一对亲和数，同时也是最小的一对亲和数。因为220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，而它们的和是284。284的真因子是1、2、4、71、142，其和恰好是220。有人曾经把亲和数用于魔术、法术、占星学和占卦上，使它带有迷信和神秘的色彩。如认为若两个人都佩带上分别写着这两个数的护符，就一定保持良好的友谊，这当然是非常滑稽可笑的。
有趣的是，后来人们总保持着对亲和数研究的兴趣。1636年，法国数学家费马发现了第二对亲和数，它们是17962与18416。两年后笛卡儿找出了第三对亲和数。瑞士的大数学家欧拉曾系统地去寻找亲和数，1747年他一下子找出了30对，3年后他又把亲和数增加到了60对。令人惊奇的是，除去220与284之外最小的一对亲和数1184与1210竟然被这些数学大师们漏掉了。它被一个16岁的意大利男孩帕加尼尼在1886年发现。至今，已经知道的亲和数已有1000对以上。
更有趣的是人们还发现了亲和链：
2115324，3317740；
3649556，2797612。
由于第一个数的因子之和是第二个数，第二个数的因子之和是第三个数……第四个数的因子之和又恰好是第一个数，它们是一个四环亲和链。一些构成亲和链的数，只要给出其中的一个，便可以计算出其他的数。如 12496与其他四个数构成一个五环亲和链。有计算器的读者不妨试算一下，补上其余的四个数。
其他与占卦臆测有联系的是完全数。完全数的真因子之和是它自己，就好像自己和自己是“一对”亲和数。最小的完全数是6=1+2+3。毕氏信徒们认为，数具有象征性的含义。例如，4是公正或报应的数，表示不偏不倚。
上天创造世界，6就是个完全数。整个人类是诺亚方舟上的神灵下凡，这一创造是不完善的，因为8不是完全数，它大于它的真因子和：1+2+4。像4、8这样的数叫做亏数。相反凡小于其因子和的整数叫做盈数。
最小的三个完全数是6，28，496。直到1952年人们才发现12个完全数。
n
欧几里德的《原本》第九卷的最后一个命题是，证明：如果2-1是一个质数， n n则2-1（2-1）是一个完全数。由这个公式所给出的完全数都是偶数。后来大数学家欧拉证明了每一个偶完全数必定是这种形式的。人们自然会问，是否还有其他的完全数？即有没有奇完全数？但至今还没有人能够回答这个问题。
1952年，借助SWAC数字计算机，又发现了五个完全数：1957年用瑞士的BESK计算机发现了另外一个；后来有人用IBM7090计算机又发现了两个。
至今为止已知道的完全数已有27个。毕氏学派是一个带有神秘色彩的宗教性组织，但是他们对于数学的研究确实作出了重大贡献。由于华达哥拉斯的讲授都是口头的，按照他们的习惯，对于各种发现或发明都不署个人姓名，而是都归功于其尊敬的领导者，所以很难辨别出他们研究的成果究竟是由谁来完成的。毕氏学派后来在政治斗争中遭到失败，毕达哥拉斯逃到塔林敦后，终于还是被杀害。他死后，他的学派的影响却仍然很大，其学派又延续了200年之久。
勾股定理
勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。可是，我国周朝初年（约公元前1100年）的数学家商高早就讲到过“勾广三，股修四，径隅五”，这实际上就是勾股定理的一个特例。根据我国史书记载，早在公元前五六世纪，就用过勾方加股方等于弦方的公式，不过没有证明过程。我国对勾股定理认识的发展是在西汉时期。这一时期的研究既有理论又有应用，在《九章算术》中有详细的记载。而定理的证明，三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》进行了详细的记述。
赵爽在这本书中，画了一个弦图：两个全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）。
赵爽释注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。”开方除之 2 2 2是当时开方运算的术语。上面这句话实际上就是勾股定理即：a+b=c。他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四。以勾股之差自相乘中黄实。加差实亦成弦实。”
2 2
即2ab+（b-a）=c
2 2 2
化简便得出：a+b=c
这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个。
勾股定理作为几何学中一条重要的定理，古往今来，有无数人探索过它的证明方法。据说，它的证明方法有500来种。我国在清朝初年有一位数学家叫梅文鼎（1633～1712年），他发明的一种证法极为简便，只需用一张硬纸，剪上几剪刀，一拼就可证明出来，读者如有兴趣不妨试一试。在 1940年，一本名为《毕达哥拉斯命题》的书中，就专门搜集了367个不同的证法。
其中有一个证法最令人感兴趣，它是由一位美国总统作出的！
根据当代著名数学科普作家马钉加德纳的报道，1876年4月1日，波士顿出版的一本周刊《新英格兰教育杂志》上刊出了勾股定理的一个别开生面的证法，编者注明资料是由俄亥俄州共和党议员詹姆土·A·加菲尔德提供的，是他和其他几位议员一起做数学游戏时想出来的，并且得到了两党议员的一致同意。后来，加菲尔德被选为美国总统。于是他的证明也就成为人们津津乐道的一段珍闻轶事了（据说这是美国总统对数学的唯一贡献）。
加菲尔德的证法的确十分干净利落。作直角三角形ABC，设其边长分别为BA=c是斜边，AC=b，BC=a。作AE⊥BA，并使AE=BA，再延长CA到D，使AD=BC=a，连D、E，则四边形CBED梯形， 1 1其面积等于 DC(BC 2 2求证△DAE与△CBA是全等三角形，于是△DAE、△CBA与△ABE的面 1 ab积之和等于 C2 2 c由于三个三角形面积之和即是梯形的面积，因此可得出等式： 1 1 (a 2 2 2 2 2化简后即得等式：a+b=c这样勾股定理便得到证明。
人们在研究勾股定理时还发现一个有趣现象。古巴比伦人就知道三条边为下列各数的一些三角形： 120，119，169； 3456，3367，4825； 4800，4601，6649； 13500，12709，18541； 72，65，96； 360，319，481； 2700，2291，2541；960，799，1249； 600，481，769； 6480，4961，8161； 60，45，75； 2400，1697，2929； 240，161，289； 2700，1771，3229； 90，56，106。
以上每个数组中的数，我们称为勾股数。
一般说来，如果正数x，y，z能满足下列不定方程 2 2 2 x+y=z（1）则这些整数叫做勾股数。
那么怎样求出勾股数呢？我们再观察几个简单的直角三角形的边： 3，4，5；5，12，13； 7，24，25；9，40，41； 11，60，61；13，84，85；……从这些数中，可发现以下规律：第一个数是奇数，第二个数是第一个数的平方减1再除以2，第三个数是第一个数的平方加1再除以2，即设m为奇数，则一般会有： m2 m2 2 2于是就有 m2 m2 2 2其中m为奇数。
但这只是一部分勾股数的规律。
（2）式两边同乘以4，则变形得：
2 2 2 2 2
（2m）+（m-1）=（m+1）（3）
很显然（3）式不论m是奇数还是偶数，等式都能成立。
然而由（3）式仍不能得到全部的勾股数。
那么怎样才能得到全部的勾股数呢？在公式（3）中，m为任意自然数，1是一个特殊的自然数，若它也变成任意自然数，设它变成n，为了使（3） 2 2式保持恒等，（3）中的第一项（2m）应变成（2mn），则有 2 2 2 2 2 2 2（2mn）+（m-n）=（m+n）（4）其中m＞n，（m，n）=1且m除以n的余数不等于2。
那么，可以证明出式（4）包括了全部勾股数。对于勾股定理的深入研究，人们不仅要问 n n n x+y=x（5）其中n＞2，n是自然数。（5）式是否也有正整数解呢？这就是到现在还仍未解决的“费马猜想”。
通过上面的介绍，各位读者是否觉得勾股定理十分有趣呢？
欧几里得妙法
数论与几何学一样，是最古老的数学分支。欧几里得的《几何原本》的七、八、九章，讲的就是数论。
对于素数的研究，在数论中占有很重要的位置。
我们知道，正整数是由 1、素数（也叫质数）与合数这三类数组成的。
一个大于1的正整数，如果只能被1和它本身整除，不能被其他正整数整除，这样的正整数就叫做素数；否则就叫做合数。在整数 1、2、3、4、……中，去掉1与全部合数，所得的表： 2，3，5，7，11，13，17，称为素数表。在素数表中，除了第一个素数2，其余都是奇素数。现在世界上最好的素数表是查基尔编的，列有大不大于50000000（五千万）的素数。
关于素数，最古老的问题是：素数有多少个？欧几里得在《几何原本》中，最先证明了素数有无穷多个。他的巧妙的证明方法，闪耀着智慧的光辉。
2000多年来，人们虽也提出过一些别的证法，但是直到今天，还是欧几里得的证明方法最好。
欧几里得证明素数有无穷多个的方法，大意是：假若素数只有有限多个，设最大的一个是P，从2到P的全体素数是： 2，3，5，7，11……，P。
所有的素数都在这里，此外再没有别的素数了。
现在，我们来考察上面从2到P的全体素数相乘、再加上1这个数，设它是A，即 A=2×3×5×7×11×……×P+1。
A是一个大于1的正整数，它不是素数，就是合数。
如果A是素数，那么，就得到了一个比素数P还要大的素数，这与素数P是最大素数的假设矛盾。
如果A是合数，那么，它一定能够被某个素数整除，设它能被g整除。
因为A被从2到P的任何一个素数除，余数都是1，就是都不能整除，而素数g是能整除A的，所以素数g不在从2到P的全体素数之中。这说明素数g是一个比素数P更大的素数，这又与P是最大的素数的假设矛盾。
上面的证明否定了素数只有有限多个的假定，这就证明了素数是无穷多个。
这个证明的构思非常巧妙，它的基本思路是：既然对于无论多大的素数，都一定有比它更大的素数，那当然素数就是无穷多个了。
素数虽然有无穷多个，但是在自然数中，它是排列得相当稀的。人们证明了这样一个道理：无论给定一个多大的正整数，比方说100亿万，一定能找到一个正整数，在这个正整数中，一个素数也没有。如果你不是说100万，而是说100亿万，这个结论也成立。
这个定理的证明，在构思上与证明素数无穷相象。
素数虽然有无穷多个，但人们能具体写出来的，总是有限个。因此，找一个比现在所知道的最大素数更大的素数，是人们经常探讨的难题之一。
素数类型
在对素数的长期研究中，有几种类型的素数特别受到重视，这里介绍两种素数的类型Rn与Mn。
Rn
n个1
是一个n位数，n位都是1。R如果是素数，就称为R型的素数，例如 n nR=11就是R型的素数。显然，如果R是素数，n必定是素数。
2 n n
这样的素数一共发现了四个，即R，R，R，R。从发现R到发现 2 19 23 317 23R，中间经历了50年的时间。R，这个素数，是1978年初，由加拿大数 317 317学教授威廉斯证明的。他在检验R不可能有任何别的素数因子时，是用计 317算机来检验的。现在研究数论，大量的计算都是用电子计算机来完成的。
目前，人们猜想下一个Rn型的素数是R。
1031
R
凡是形状是2-1的数记作Mn，叫做麦什涅数，如果是素数，就叫做麦什涅素数。例如M=3，M=7，M=31等是麦什涅素数。
2 3 5
人们证明了：如果Mp是麦什涅素数，p一定是素数。但是，不能认为p 11是素数，Mp就是麦什涅素数。例如M=2-1=2047=23×89，就不是麦什涅素 11数。
1978年底，美国加利福尼亚大学的两个学生尼克尔和诺尔，利用电子计 21701算机证明了M是素数。M =2 -1，是当时能写出来、并且能加以证 21701 2170明的最大素数。
我国在报导这一素数时，曾有过这么一段故事： 1978年11月21日，我国有报纸刊登了：“[法新社美国加州赫沃兹十一月十五日电]两位美国学生发现了最大的 21701已知质数2。”
报纸出版没几天，这家报纸的编辑部和很多科技报刊以及许多大学的数学系，就收到了大量的群众来信，内容主要是指出： 21701 2肯定是合数（2的倍数），怎么能是素数呢？
21701
后来，有的报刊更正说，新发现的最大已知素数，应该是2 -1，报 21701纸上把2 -1的“-1”都丢了。
紧接着，一些数学教师就围绕着这个数据，出了一些供青少年解答的有趣的数学题目。比如 21701 2 -1有多少位？头两位与末两位各是什么数？（答：有6533位；头两位是44，末两位是51。） 21701 m n 2 +1是素数吗？你能不能证明：若2+1是素数，则m=2。
44497
到1979年底为止，人们已知的最大素数是2 -1。
值得注意的是：数学家在判断具体的Rn、Mn和Fn是不是素数时，虽然一般都要借助于大型电子计算机，但是困难的研究工作，还得靠人来完成。
16384 214
例如，有人已经证明了2 +1（即F=2+1）是一个合数，可是无论 14用现有的什么样的计算机，也找不出它的任何一个因子来。因为人们还没有把这个问题，转化到计算机能帮得上忙的程度。
